Uma viga de 10 m está sujeita a uma carga, e a força de cisalhamento segue a equação
V(x)=5+0,24 x^2
Onde V é a força de cisalhamento e x é a distância ao longo da viga. Sabemos que V=d M / d x, e M é o momento de deformação. A integração fornece a relação
M=M0+integral0^x V(x) d x
Se M0 é 0 e x=11, calcule M usando (a) integração analítica, (b) aplicação múltipla da regra do trapézio, e © aplicação múltipla das regras de Simpson. Para (b) e ©, use incrementos de 1 m .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma viga de 10 m (mas a gente vai integrar até x = 11 m) com força de cisalhamento
V(x)=5+0,24,x^2
e que o momento de deformação é dado por
M(x)=M0+integral0^x V(t),dt
com .
Conteúdo: integração definida e métodos numéricos (trapézio composto e Simpson composto). Vamos precisar:
  • Saber integrar polinômios (integração analítica).
  • Fórmula do trapézio composto com passo .
  • Fórmula do método de Simpson composto (e a noção de que ele, estritamente, pede número par de subintervalos).

Passo 2

Integração analítica
  1. A integral de integral (5+0,24x^2),dx ;=;5x + 0,24;x^33 ;=;5x + 0,08,x^3 é M(11)=0 + l[5x + 0,08,x^3r]0^11 =5cdot11 + 0,08cdot11^3 =55 + 0,08cdot1331 =55 + 106,48 =161,48
  2. Então, de 0 a 11:

Passo 3

Trapézio composto ( integral0^11f(x),dx approx hl[f0+f112 + sumi=1^10fir] , de 0 a 11, 11 subintervalos)
  1. Definimos
    f0=5,;f11=34,04,; sumi=1^10fi=142,4 , para M(11)approx 1l[tfrac5+34,042 +142,4r] =19,52+142,4 =161,92 .
  2. A fórmula do trapézio composto é
  3. Calculando rapidamente (tabela omissa):

Passo 4

Simpson composto
  • O método clássico de Simpson pede número par de subintervalos. Aqui temos 11 subintervalos (ímpar), então uma saída é:
    • usar Simpson em 10 intervalos (0 a 10) + trapézio no último (10 a 11).
  1. Simpson de 0 a 10, integral0^10 (5+0,24x^2),dx =130 , 10 subintervalos: por ser polinômio de grau 2, dá exato f(10)+f(11)2cdot1 =29 +34,042 =31,52
  2. Trapézio de 10 a 11: M(11)approx130 +31,52 =161,52
  3. Somando

Resposta

(a) Integração analítica: .
(b) Trapézio composto ( ): .
© Simpson composto (Simpson 0–10 + trapézio 10–11): .

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