Poden-se obter aproximaçāes de raizN a partir da recorrência
x1=N2, xk+1=12(xk+Nxk)
Supondo que lim n infty xn=L, prove que L=raizN.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de um número $ N $ usando uma sequência definida por uma regra recorrente. A matéria envolvida aqui é sobre sequências e limites. Para resolver, vamos precisar entender como funciona essa recorrência e como aplicar conceitos de limites para encontrar o valor que a sequência está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a recorrência dada:
x1 = N2
xk+1 = 12(xk + Nxk)
Isso significa que começamos com $ x_1 $ igual a $ N/2 $ e, a cada passo seguinte, calculamos $ x_{k+1} $ usando o valor anterior $ x_k $.

Passo 3

A ideia é que, conforme $ k $ aumenta, os valores de $ x_k $ se aproximam da raiz quadrada de $ N $. Para provar isso, vamos assumir que existe um limite $ L $ quando $ k $ tende ao infinito:
k
E queremos mostrar que $ L = \sqrt{N} $.

Passo 4

Se a sequência realmente converge para $ L $, então $ x_{k+1} $ também vai tender para $ L $. Então podemos substituir $ x_{k+1} $ e $ x_k $ por $ L $ na fórmula da recorrência:
L
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ L $.

Passo 5

Multiplicando os dois lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
2L = L + NL
Subtraindo $ L $ de ambos os lados:
L
Agora, multiplicando ambos os lados por $ L $ para eliminar a fração:
L = NL

Resposta

Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
L = raizN
Portanto, mostramos que o limite $ L $ da sequência é igual a $ \sqrt{N} $.

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