Poden-se obter aproximaçāes de
a partir da recorrência
Supondo que
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de um número $ N $ usando uma sequência definida por uma regra recorrente. A matéria envolvida aqui é sobre sequências e limites. Para resolver, vamos precisar entender como funciona essa recorrência e como aplicar conceitos de limites para encontrar o valor que a sequência está se aproximando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a recorrência dada:
Isso significa que começamos com $ x_1 $ igual a $ N/2 $ e, a cada passo seguinte, calculamos $ x_{k+1} $ usando o valor anterior $ x_k $.
Passo 3
A ideia é que, conforme $ k $ aumenta, os valores de $ x_k $ se aproximam da raiz quadrada de $ N $. Para provar isso, vamos assumir que existe um limite $ L $ quando $ k $ tende ao infinito:
E queremos mostrar que $ L = \sqrt{N} $.
Passo 4
Se a sequência realmente converge para $ L $, então $ x_{k+1} $ também vai tender para $ L $. Então podemos substituir $ x_{k+1} $ e $ x_k $ por $ L $ na fórmula da recorrência:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ L $.
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo $ L $ de ambos os lados:
Agora, multiplicando ambos os lados por $ L $ para eliminar a fração:
Resposta
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
Portanto, mostramos que o limite $ L $ da sequência é igual a $ \sqrt{N} $.