A função em [0, \infty) f(x)=backslash exp (4 x)-19 backslash s q r tx possui dois zeros. Obtenha à terceira iterada do método Newton-Raphson para um dos zeros de f com aproximação inicial x^wed>=(0)=0.6.

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o método de Newton–Raphson para achar um zero da função
f(x)=exp(4x)-19raizx,, xin[0,infty)
Começamos com x^(n+1) = x^(n) - fl(x^(n)r)f'l(x^(n)r) e vamos fazer três iterações.
Conteúdo: cálculo de derivada e aplicação da fórmula de Newton–Raphson
O que precisamos:
  1. A expressão de .
  2. A fórmula da iteração

Passo 2

Primeiro a gente obtém f(x)=e^4x-19x^1/2, .
Dado
f'(x)=ddxe^4x-19ddxx^1/2 =4e^4x-19cdot12,x^-1/2 =4e^4x-192raizx
usa-se regra da cadeia e da potências:
x^(n+1) = x^(n) - e^4x^(n)-19raizx^(n) 4e^4x^(n)-dfrac192raizx^(n)
Então a fórmula de Newton fica
[
x^{(n+1)}

x^{(n)}

\frac{e{4x{(n)}}-19\sqrt{x^{(n)}}}
{4e{4x{(n)}}-\dfrac{19}{2\sqrt{x^{(n)}}}}.
]

Passo 3

Iteração 1 ( f(0.6)=e^2.4-19raiz0.6approx11.0232-14.7173=-3.6941, ):
Pegamos f'(0.6)=4e^2.4-192raiz0.6 approx44.0928-12.2620=31.8308 .
Calculemos
x^(1) =0.6--3.694131.8308 approx0.7161
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Passo 4

Iteração 2 ( f(0.7161)=e^4cdot0.7161-19raiz0.7161 approx17.5360-16.0896=1.4464, ):
Agora f'(0.7161)=4e^2.8644-192raiz0.7161 approx70.1440-11.2190=58.9250 .
x^(2) =0.7161-1.446458.9250 approx0.6916

Passo 5

Iteração 3 ( f(0.6916)=e^4cdot0.6916-19raiz0.6916 approx15.8950-15.8024=0.0926, ):
Com f'(0.6916)=4e^2.7664-192raiz0.6916 approx63.5800-11.4230=52.1570 :
x^(3) =0.6916-0.092652.1570 approx0.6898

Resposta

A terceira iterada do método de Newton–Raphson, começando em boxed0.6898 , é aproximadamente

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