Poden-se obter aproximaçāes de raizN a partir da recorrência
x1=N2, xk+1=12(xk+Nxk)
Aproxime x2, x3, x2, x5, x6 se N=10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente aproximar a raiz quadrada de 10 usando uma sequência de cálculos. A gente vai usar uma fórmula que depende do valor anterior para chegar cada vez mais perto da resposta certa. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de recursão e como aproximar raízes quadradas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, começamos com $ x_1 = \frac{N}{2} $. Como $ N = 10 $, temos:
x1 = N2
Aqui, estamos dando o primeiro chute para a raiz quadrada de 10, que é meio que a gente dividindo o número por 2.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de recorrência para encontrar $ x_2 $:
x2
Substituindo $ k = 1 $ e $ x_1 = 5 $:
xk+1 = 12 ( xk + Nxk )
Então, $ x_2 = 3,5 $.

Passo 4

Vamos agora encontrar $ x_3 $ usando $ x_2 = 3,5 $:
x3
Primeiro, calculamos $ \frac{10}{3,5} $:
x2 = 3,5
Então:
x3 = 12 ( 3,5 + 103,5 )
Portanto, $ x_3 \approx 3,1786 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ x_4 $ usando $ x_3 \approx 3,1786 $:
x4
Calculando $ \frac{10}{3,1786} $:
x3 approx 3,1786
Então:
x4 = 12 ( 3,1786 + 103,1786 )
Assim, $ x_4 \approx 3,1641 $.

Passo 6

Seguimos para $ x_5 $ usando $ x_4 \approx 3,1641 $:
x5
Calculando $ \frac{10}{3,1641} $:
x4 approx 3,1641
Então:
x5 = 12 ( 3,1641 + 103,1641 )
Portanto, $ x_5 \approx 3,1623 $.

Passo 7

Por fim, vamos calcular $ x_6 $ usando $ x_5 \approx 3,1623 $:
x6
Calculando $ \frac{10}{3,1623} $:
x5 approx 3,1623
Então:
x6 = 12 ( 3,1623 + 103,1623 )
Assim, $ x_6 \approx 3,1623 $.

Resposta

As aproximações de $ \sqrt{10} $ são:
raiz10

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