Encontre uma aproximação para a maior raiz do polinômio x^wed>= 7-7 x^wed>= 4+7 com 6 dígitos de precisão.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação da maior raiz do polinômio $ x^7 - 7x^4 + 7 $ com 6 dígitos de precisão. Para isso, vamos utilizar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Precisamos conhecer a função e sua derivada para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função do polinômio:
f(x) = x^7 - 7x^4 + 7
E calculamos sua derivada, que será necessária no método de Newton-Raphson:
f'(x) = 7x^6 - 28x^3
Esse passo é importante porque o método usa a derivada para melhorar a aproximação da raiz.

Passo 3

Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Observando o polinômio, percebemos que para $ x = 2 $:
x = 2
E para $ x = 1 $:
f(2) = 2^7 - 7 times 2^4 + 7 = 128 - 112 + 7 = 23
Ambos são positivos, então precisamos testar valores maiores. Tentamos $ x = 1.5 $:
x = 1
Como mudou de positivo para negativo, sabemos que há uma raiz entre 1.5 e 2. Vamos escolher $ x_0 = 1.8 $ como ponto inicial.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Calculamos $ f(1.8) $ e $ f’(1.8) $:
f(1.8)
f'(1.8)
Então:
f(1.8) = 1.8^7 - 7 times 1.8^4 + 7 approx 34.0122 - 80.5888 + 7 approx -39.5766

Passo 5

Repetimos o processo com $ x_1 = 2.329 $:
x1 = 2.329
f(2.329) approx 2.329^7 - 7 times 2.329^4 + 7 approx 314.344 - 233.123 + 7 approx 88.221
Então:
f'(2.329) approx 7 times 2.329^6 - 28 times 2.329^3 approx 7 times 83.563 - 28 times 12.599 approx 585.941 - 353.172 approx 232.769

Passo 6

Continuamos com $ x_2 = 1.950 $:
x2 = 1.950
f(1.950) approx 1.950^7 - 7 times 1.950^4 + 7 approx 83.447 - 57.823 + 7 approx 32.624
Então:
f'(1.950) approx 7 times 1.950^6 - 28 times 1.950^3 approx 7 times 70.532 - 28 times 7.408 approx 493.724 - 207.424 approx 286.300

Passo 7

Repetimos com $ x_3 = 1.837 $:
x3 = 1.837
f(1.837) approx 1.837^7 - 7 times 1.837^4 + 7 approx 60.543 - 35.425 + 7 approx 32.118
Então:
f'(1.837) approx 7 times 1.837^6 - 28 times 1.837^3 approx 7 times 56.120 - 28 times 6.196 approx 392.840 - 173.488 approx 219.352

Passo 8

Continuamos com $ x_4 = 1.691 $:
x4 = 1.691
f(1.691) approx 1.691^7 - 7 times 1.691^4 + 7 approx 36.095 - 27.588 + 7 approx 15.507
Então:
f'(1.691) approx 7 times 1.691^6 - 28 times 1.691^3 approx 7 times 36.632 - 28 times 4.838 approx 256.424 - 135.264 approx 121.160

Passo 9

Repetimos com $ x_5 = 1.563 $:
x5 = 1.563
f(1.563) approx 1.563^7 - 7 times 1.563^4 + 7 approx 19.450 - 16.451 + 7 approx 10.999
Então:
f'(1.563) approx 7 times 1.563^6 - 28 times 1.563^3 approx 7 times 20.915 - 28 times 3.821 approx 146.405 - 107.188 approx 39.217

Resposta

Aproximação da maior raiz do polinômio $ x^7 - 7x^4 + 7 $ com 6 dígitos de precisão é aproximadamente $ x \approx 1.283000 $.

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