Encontre uma aproximação para a maior raiz do polinômio
com 6 dígitos de precisão.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação da maior raiz do polinômio $ x^7 - 7x^4 + 7 $ com 6 dígitos de precisão. Para isso, vamos utilizar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Precisamos conhecer a função e sua derivada para aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função do polinômio:
E calculamos sua derivada, que será necessária no método de Newton-Raphson:
Esse passo é importante porque o método usa a derivada para melhorar a aproximação da raiz.
Passo 3
Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Observando o polinômio, percebemos que para $ x = 2 $:
E para $ x = 1 $:
Ambos são positivos, então precisamos testar valores maiores. Tentamos $ x = 1.5 $:
Como mudou de positivo para negativo, sabemos que há uma raiz entre 1.5 e 2. Vamos escolher $ x_0 = 1.8 $ como ponto inicial.
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculamos $ f(1.8) $ e $ f’(1.8) $:
Então:
Passo 5
Repetimos o processo com $ x_1 = 2.329 $:
Então:
Passo 6
Continuamos com $ x_2 = 1.950 $:
Então:
Passo 7
Repetimos com $ x_3 = 1.837 $:
Então:
Passo 8
Continuamos com $ x_4 = 1.691 $:
Então:
Passo 9
Repetimos com $ x_5 = 1.563 $:
Então:
Resposta
Aproximação da maior raiz do polinômio $ x^7 - 7x^4 + 7 $ com 6 dígitos de precisão é aproximadamente $ x \approx 1.283000 $.