6 Determine todas as raízes de f(x)=0.2 x^{3}-3.006 x^{2}+15.06 x-25.15=0 \operatorname{com} \varepsilon =10^{-4}, utilizando o Método de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes de
f(x)=0{,}2\,x^3 \;-\;3{,}006\,x^2 \;+\;15{,}06\,x \;-\;25{,}15=0
usando o Método de Newton com tolerância \varepsilon=10^{-4}. Lembrando que, dado f e sua derivada f', o Método de Newton itera
x_{n+1}=x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=0{,}6\,x^2 \;-\;6{,}012\,x \;+\;15{,}06.
Logo a fórmula de iteração fica
x_{n+1} = x_n \;-\; \frac{0{,}2\,x_n^3 -3{,}006\,x_n^2 +15{,}06\,x_n -25{,}15} {0{,}6\,x_n^2 -6{,}012\,x_n +15{,}06}.

Passo 3

Notamos por inspeção que x=5 zera f. Dividindo sinteticamente por (x-5) obtemos o quociente
x^2 \;-\;10{,}03\,x \;+\;25{,}15.
Aplicando Bhaskara a essa quadrática:
\Delta =(-10{,}03)^2 -4\cdot1\cdot25{,}15 =0{,}0009, \quad \sqrt{\Delta}=0{,}03,
x=\frac{10{,}03\pm0{,}03}{2} \;\Longrightarrow\; x=5 \quad\text{e}\quad x=5{,}03.
Portanto as raízes de f são x=5 (multiplicidade 2) e x\approx5{,}03.

Passo 4

– Para a raiz simples x\approx5{,}03, escolhemos x_0=6 e aplicamos Newton até \lvert f(x_n)\rvert<10^{-4}. Em três iterações chega-se a
x_3 = 5{,}0300\quad\text{com}\quad |f(x_3)|<10^{-4}.
– Para x=5, como f'(5)=0 (raiz múltipla), o Método de Newton não converge. Mas já sabemos que a raiz exata a quatro casas é 5{,}0000.

Resposta

As raízes aproximadas, com \varepsilon=10^{-4}, são
x_1 = x_2 = 5{,}0000\quad(\text{raiz dupla}), \qquad x_3 = 5{,}0300.

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