Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, \operatorname{com} \varepsilon=10^{-3}, usando o Método de Newton.
e^{x}+\cos x=5

Passo 1

O enunciado pede calcular uma raiz real da equação
e^{x} + \cos x = 5
usando o Método de Newton com \varepsilon = 10^{-3}. Vamos definir a função f(x) e sua derivada f'(x), escolher um chute inicial e iterar até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^{x} + \cos x - 5,
cuja derivada é
f'(x) = e^{x} - \sin x.
A iteração de Newton é
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Para escolher o chute inicial x_{0}, avaliamos o sinal de f em alguns pontos:
f(1{,}5)=e^{1{,}5}+\cos(1{,}5)-5\approx4{,}4817+0{,}0707-5=-0{,}4476
(negativo) e
f(1{,}7)=e^{1{,}7}+\cos(1{,}7)-5\approx5{,}4739-0{,}1310-5=0{,}3429
(positivo). Como há mudança de sinal em [1{,}5,1{,}7], tomamos x_{0}=1{,}5.

Passo 4

Iteração 1 com x_{0}=1{,}5:
f(1{,}5)\approx-0{,}4476,\quad f'(1{,}5)\approx e^{1{,}5}-\sin(1{,}5)\approx4{,}4817-0{,}9975=3{,}4842,
x_{1}=1{,}5 - \frac{-0{,}4476}{3{,}4842}\approx1{,}6285.

Passo 5

Iteração 2 com x_{1}=1{,}6285:
f(1{,}6285)\approx e^{1{,}6285}+\cos(1{,}6285)-5\approx5{,}0961-0{,}0580-5=0{,}0380,
f'(1{,}6285)\approx5{,}0961-\sin(1{,}6285)\approx5{,}0961-0{,}9983=4{,}0978,
x_{2}=1{,}6285 - \frac{0{,}0380}{4{,}0978}\approx1{,}6192.

Passo 6

Iteração 3 com x_{2}=1{,}6192:
f(1{,}6192)\approx e^{1{,}6192}+\cos(1{,}6192)-5\approx5{,}0496-0{,}0487-5=0{,}0009,
f'(1{,}6192)\approx5{,}0496-\sin(1{,}6192)\approx5{,}0496-0{,}9985=4{,}0511,
x_{3}=1{,}6192 - \frac{0{,}0009}{4{,}0511}\approx1{,}61897.
A diferença \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx0{,}00023<\varepsilon, então paramos.

Resposta

Uma aproximação da raiz real é
x\approx1{,}6190.

Exercícios relacionados