O polinômio interpolador de uma função nos pontos na forma de Lagrange é dado por
onde e são os pesos baricêntricos.
(a) Determine os pesos em relação aos pontos e utilize-os para determinar o valor do polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola nesses pontos, quando avaliado em . Estime o erro entre e (use que ).
(b) Com base na fórmula do erro de interpolação e tendo em vista que a função é periódica de período , qual dos valores ou aproxima melhor sen ?
( denota o polinômio interpolador do item anterior)
Passo 1
Beleza, então o problema é interpolar a função
nos pontos
usando o polinômio de Lagrange na forma baricêntrica
onde os são os pesos baricêntricos.
O que precisamos:
Calcular os em função dos .
Avaliar e estimar o erro usando que .
Analisar, pela fórmula de erro, qual se aproxima melhor de : ou .
Passo 2
Vamos achar os pesos
Para cada :
Passo 3
Agora montamos
E a soma
Só entram (nos outros ):
Logo
Então
O valor exato de .
O erro real é
Pela fórmula geral do erro
temos , logo .
Então
que engloba o erro real.
Passo 4
Como tem período 2, .
O erro em é proporcional a .
Para :
tem valor absoluto .
Para :
tem valor absoluto .
Como , o erro em é menor, logo aproxima melhor .
Resposta
, com erro (e limite teórico ).
Entre e , o melhor é .