1. O polinômio interpolador de uma função f nos pontos xi, i=0,1, ldots, n na forma de Lagrange é dado por
pn(x)=L(x) sumi=0^n wi f(xi)x-xi
onde wi, i=0,1, ldots, n e 0,1 / 6,1 / 2,1 são os pesos baricêntricos.
(a) Determine os pesos em relação aos pontos f(x)=sen(pi x) e utilize-os para determinar o valor do polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola x=1 / 3 nesses pontos, quando avaliado em p3(x). Estime o erro entre f(x) e pi^4<100 (use que f(x)= ).
(b) Com base na fórmula do erro de interpolação e tendo em vista que a função sen(pi x) T=2 é periódica de período p3(-0.52), qual dos valores p3(1.48) ou (1.48 pi) aproxima melhor sen p3(x) ?
( denota o polinômio interpolador do item anterior)

Passo 1

Beleza, então o problema é interpolar a função
x0=0,;x1=tfrac16,;x2=tfrac12,;x3=1
nos pontos
p3(x) =L(x)sumi=0^3wi,f(xi)x-xi, L(x)=prodi=0^3(x-xi),
usando o polinômio de Lagrange na forma baricêntrica
onde os são os pesos baricêntricos.
O que precisamos:
  1. Calcular os em função dos .
  2. Avaliar e estimar o erro usando que .
  3. Analisar, pela fórmula de erro, qual se aproxima melhor de : ou .

Passo 2

Vamos achar os pesos
wi=1prodjneq i(xi-xj)
Para cada :

Passo 3

Agora montamos
Ll(tfrac13r) =prodi=0^3l(tfrac13-xir) =l(tfrac13-0r)l(tfrac13-tfrac16r)l(tfrac13-tfrac12r)l(tfrac13-1r) =1162
E a soma
S=sumi=0^3wi,f(xi)tfrac13-xi
w1,f(x1)tfrac13-tfrac16 &=tfrac1085,sin(pi/6)tfrac16 =108/5cdot121/6 =54/51/6= 545cdot6= 3245, w2,f(x2)tfrac13-tfrac12 &=-12cdotsin(pi/2)-1/6 =-12divl(-tfrac16r)=72 entram (nos outros S=3245+72=324+3605=6845 ):
p3l(tfrac13r) = Ll(tfrac13r),S =1162cdot6845 =684810 =3845approx0.8444
Logo
l|sin(pi/3)-p3(1/3)r| approx|0.8660-0.8444|approx0.0216
Então
E(x)=f^(4)(xi)4!,L(x),
O valor exato de |E(1/3)|<=1004!,l|L(1/3)r| =10024cdot1162 =1003888approx0.0257, .
O erro real é
Pela fórmula geral do erro
temos , logo .
Então
que engloba o erro real.

Passo 4

Como tem período 2,
.
O erro em é proporcional a .
  • Para :

    tem valor absoluto
    .
  • Para :

    tem valor absoluto
    .
    Como , o erro em é menor, logo
    aproxima melhor .

Resposta

, com erro (e limite teórico ).
Entre e , o melhor é .

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