(use 4 casas decimais) Dado o PVI ly^prime(x)=2 x-y y(1,5)=4, obtenha uma aproximação de y(3) para h=0,5 usando os métodos a seguir:
Método de Euler Aperfeiçoado (ou método de Heun).

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem aqui:
– Um PVI (problema de valor inicial)
y'(x) = 2x - y, y(1,5)=4
Conteúdo: método numérico para EDO, mais especificamente o Método de Euler Aperfeiçoado (ou Heun).
O que vamos usar:
  1. A definição da função k1 &= f(xi,yi), tilde y &= yi + h,k1, k2 &= f(xi + h,;tilde y), yi+1 &= yi + tfrac h2,(k1 + k2) .
  2. O passo .
  3. A fórmula do método de Heun, que para cada faz:
Como a gente quer chegar de até com , vai rolar 3 passos:
.

Passo 2

Primeiro passo: de y1 = 4 + tfrac0,52,(-1 + 0,5) = 4 + 0,25cdot(-0,5) = 4 - 0,125 = 3,8750 , para .
  1. Predictor:
  2. Corrector:

Passo 3

Segundo passo: de y2 = 3,8750 + 0,25,(0,125 + 1,0625) = 3,8750 + 0,25cdot1,1875 = 3,8750 + 0,2969 = 4,1719 , para .

Passo 4

Terceiro passo: de y3 = 4,1719 + 0,25,(0,8281 + 1,4140) = 4,1719 + 0,25cdot2,2421 = 4,1719 + 0,5605 = 4,7324 , para .

Resposta

A aproximação pelo Método de Euler Aperfeiçoado (Heun) com boxedy(3)approx 4,7324

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