(use aproximações com 4 casas decimais) Calcule uma aproximação de
usando a:
Integral pela Quadratura Gaussiana.
Integral pela Quadratura Gaussiana.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra aproximar
usando Quadratura de Gauss (Gauss–Legendre). Isso cai em Cálculo Numérico e a ideia é trocar essa integral por uma soma com pontos (nós)
e pesos
:
Aqui vamos usar a forma com
pontos, que é a mais simples e geralmente conhecida.
Passo 2
Teoria dos 2 pontos de Gauss–Legendre em
:
- Nós:
, . - Pesos:
.
Isso vem de tabelas de Gauss–Legendre ou derivação que garante exatidão até polinômios de grau 3.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com
:
[
\int_{-1}{1}e{x2}x2,dx;\approx;
\sum_{i=1}^2 w_i,f(x_i)
f!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)
+
f!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
]
Como
é par, os dois valores são iguais:
[
f!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)
e{(\tfrac{1}{\sqrt{3}})2},
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^2
e^{1/3},\frac{1}{3}.
]
]
Logo a soma dá
Agora só approximar
(4 casas decimais) e multiplicar:
Resposta
Aproximação pela Quadratura Gaussiana de 2 pontos: