Use a aritmética de arredondamento, com quatro algarismos, e as fórmulas do Exemplo 5 para determinar a aproximação mais precisa para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e relativos.
,002 x^{2}+11,01 x+0,01265=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação
0,002,x^2 + 11,01,x + 0,01265 = 0
usando aritmética com quatro dígitos significativos e as “fórmulas do Exemplo 5” (que ensinam a evitar cancelamento, calculando a raiz de maior módulo pela fórmula normal e a outra por x=c/(a,xgrande)). No final a gente vai calcular o erro absoluto e relativo de cada raiz.
O que precisamos:
• A fórmula quadrática e a variante estável do Exemplo 5
• Saber arredondar cada operação a quatro dígitos significativos
• Calcular depois as raízes exatas (com muita precisão) pra ter referência de erro

Passo 2

Calcular b^2 e arredondar a quatro dígitos sig.:
b^2 = (11,01)^2 = 121,2201;longrightarrow;121,2(4 dígitos)í

Passo 3

Calcular 4ac em duas etapas:
4cdot a = 4cdot0,002 = 0,008000;longrightarrow;0,008000
0,008000cdot0,01265 = 0,0001012(já são 4 dígitos)áãí

Passo 4

O discriminante aproximado D = b^2 - 4ac:
D = 121,2 - 0,0001012 = 121,1998988;longrightarrow;121,2(4 dígitos)í

Passo 5

Tirar raiz de D, sempre arredondando a quatro dígitos:
raiz121,2approx11,009995;longrightarrow;11,01

Passo 6

Agora a raiz de maior módulo (pra evitar cancelamento) usando
xgrande=-b-raiz D2a
Substituindo e arredondando cada passo:
-b-raiz D = -11,01 - 11,01 = -22,02
2a = 2cdot0,002 = 0,00400;longrightarrow;0,004000
xgrande = -22,020,004000 = -5505;longrightarrow;-5,505times10^3

Passo 7

A outra raiz vem de
xpequena = ca,xgrande
Calculemos:
a,xgrande = 0,002cdot(-5505) = -11,01(4 dígitos)í
xpequena = 0,01265-11,01 = -0,001149;longrightarrow;-1,149times10^-3

Passo 8

Pra achar o erro, precisamos das raízes “exatas” (com alta precisão):
  1. Drm exato=121,2201-0,0001012=121,2199988,
  2. raizDrm exatoapprox11,0099954,
xgrande, exato =-11,01-11,00999540,004 approx-5504,99885, xpequena, exato =0,012650,002cdot(-5504,99885) approx-0,001149395

Passo 9

Agora o erro de cada uma:
• Raiz grande xg=-5,505times10^3
  • Erro absoluto: |,xg,rm apox-xg,rm exato| = |-5505 - (-5504,99885)|approx0,00115
    - Erro relativo:
    0,001155504,99885approx2,09times10^-7
• Raiz pequena xp=-1,149times10^-3
  • Erro absoluto: |-0,001149 - (-0,001149395)|approx3,95times10^-7
    - Erro relativo:
    3,95times10^-70,001149395approx3,44times10^-4

Resposta

As aproximações (4 dígitos) são
x1approx-5,505times10^3, x2approx-1,149times10^-3,
com erros
– Para x1: absoluto approx1,15times10^-3 e relativo approx2,09times10^-7.
– Para x2: absoluto approx3,95times10^-7 e relativo approx3,44times10^-4,.

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