(a) Resolva usando fatoração LU
(b) Escolha, marcando X , no método que será utilizado para determinar a aproximação da solução do sistema linear acima com chute inicial X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05. (use arredondamento e 5 casas decimais)
Método de Gauss-Jacobi.
Método de Gauss-Seidel.
(c) Esse sistema satisfaz o Critério das linhas? Justifique!
(b) Escolher e marcar (com X) qual método (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel) será utilizado para determinar uma aproximação da solução, partindo do chute inicial \,X^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\, e com tolerância \varepsilon=0,05. Pedem que eu use arredondamento com 5 casas decimais nas iterações.
(c) Verificar se o sistema satisfaz o Critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) e justificar.
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando cada fórmula e cada etapa de maneira didática.]
Passo 2
(a) Fatoração LU e solução usando-a.
Primeiro: o que é a fatoração LU (método Doolittle que usaremos)?
Queremos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com 1s na diagonal) e uma matriz triangular superior U:A = LU.
Isso facilita resolver Ax=b em duas etapas: resolver Ly=b (substituição direta/forward) e depois Ux=y (substituição retro/backward).
Em Doolittle escolhemos L com diagonais iguais a 1. Os elementos de L são os multiplicadores usados na eliminação de Gauss.
Agora aplicamos o procedimento com A. Escrevo A=[a_{ij}]. Começamos com u_{11}=a_{11}=10. Os multiplicadores da primeira coluna são
Agora resolvemos Ly=b por substituição direta (forward). Explicando a técnica: para L y=b com L triangular inferior, começamos por y_{1}=b_{1} e calculamos cada y_{i} subtraindo os termos já conhecidos:
(b) Escolha do método e iterações (com arredondamento 5 casas decimais).
Primeiro: critério de escolha e convergência. Uma condição suficiente para convergência dos métodos iterativos Jacobi e Gauss-Seidel é que A seja estritamente dominantes por linhas (Critério das linhas). Neste sistema cada linha tem |a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}| (verificaremos em (c)), logo tanto Jacobi quanto Gauss-Seidel convergem. Entre os dois, Gauss-Seidel costuma convergir mais rápido porque, ao atualizar x_i numa iteração, ele já usa os valores mais recentes x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} no cálculo de x_i^{(k+1)}, enquanto Jacobi usa apenas os valores antigos x^{(k)}. Por isso escolho marcar X em Gauss-Seidel.
Marcação pedida:
Método de Gauss-Jacobi.
Método de Gauss-Seidel. X ← escolhi este (Gauss-Seidel).
Agora aplico Gauss-Seidel com as fórmulas obtidas isolando cada incógnita (rearranjo das equações):
Instrução de arredondamento: vou arredondar cada componente para 5 casas decimais logo após o cálculo (ou seja, guardar cada x_i^{(k)} com 5 casas decimais) e o critério de parada é \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon com \varepsilon=0,05.
(c) Verificação do Critério das linhas (dominância diagonal por linhas).
O Critério das linhas diz: uma matriz A=[a_{ij}] é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Verifico linha a linha (tou pegando os coeficientes diretamente da matriz A dada no enunciado):
Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\ne 1}|a_{1j}|=|1|+|-1|=1+1=2. Logo 10>2.
Linha 2: |a_{22}|=10 e \sum_{j\ne 2}|a_{2j}|=|1|+|1|=2. Logo 10>2.
Linha 3: |a_{33}|=10 e \sum_{j\ne 3}|a_{3j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Logo 10>3.
Como em todas as linhas temos desigualdade estrita, o sistema satisfaz o Critério das linhas (a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas). Isso garante, entre outras coisas, a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel.