(… pontos) Considere o sistema
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =10 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3} & =11 \end{aligned}\right.
(a) Resolva usando fatoração LU
(b) Escolha, marcando X , no método que será utilizado para determinar a aproximação da solução do sistema linear acima com chute inicial X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05. (use arredondamento e 5 casas decimais)
Método de Gauss-Jacobi.
Método de Gauss-Seidel.
(c) Esse sistema satisfaz o Critério das linhas? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 10x_{1}+x_{2}-x_{3} & =10,\\[4pt] x_{1}+10x_{2}+x_{3} & =12,\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}+10x_{3} & =11, \end{aligned}\right.
e pede três coisas:
  1. (a) Resolver o sistema usando fatoração LU.
    Informações relevantes: matriz dos coeficientes A e vetor do termo independente b, onde
    A=\begin{pmatrix}10 & 1 & -1\\[4pt]1 & 10 & 1\\[4pt]2 & -1 & 10\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]12\\[4pt]11\end{pmatrix}.
  2. (b) Escolher e marcar (com X) qual método (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel) será utilizado para determinar uma aproximação da solução, partindo do chute inicial \,X^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\, e com tolerância \varepsilon=0,05. Pedem que eu use arredondamento com 5 casas decimais nas iterações.
  3. (c) Verificar se o sistema satisfaz o Critério das linhas (critério de dominância diagonal por linhas) e justificar.
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando cada fórmula e cada etapa de maneira didática.]

Passo 2

(a) Fatoração LU e solução usando-a.
Primeiro: o que é a fatoração LU (método Doolittle que usaremos)?
  • Queremos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com 1s na diagonal) e uma matriz triangular superior U: A = LU.
  • Isso facilita resolver Ax=b em duas etapas: resolver Ly=b (substituição direta/forward) e depois Ux=y (substituição retro/backward).
  • Em Doolittle escolhemos L com diagonais iguais a 1. Os elementos de L são os multiplicadores usados na eliminação de Gauss.
Agora aplicamos o procedimento com A. Escrevo A=[a_{ij}]. Começamos com u_{11}=a_{11}=10. Os multiplicadores da primeira coluna são
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{1}{10}=\frac{1}{10},\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.
Substituímos para obter a segunda linha reduzida e a terceira linha reduzida (essa é a etapa de eliminação):
  • Linha 2 nova: [0,\;10-\ell_{21}\cdot 1,\;1-\ell_{21}\cdot(-1)] = \bigl[0,\;10-\tfrac{1}{10},\;1+\tfrac{1}{10}\bigr]=\bigl[0,\;\tfrac{99}{10},\;\tfrac{11}{10}\bigr].
  • Linha 3 nova: [0,\;-1-\ell_{31}\cdot 1,\;10-\ell_{31}\cdot(-1)] = \bigl[0,\;-1-\tfrac{1}{5},\;10+\tfrac{1}{5}\bigr]=\bigl[0,\;-\tfrac{6}{5},\;\tfrac{51}{5}\bigr].
O pivô seguinte é u_{22}=\tfrac{99}{10}. O multiplicador para eliminar o elemento (3,2) é
\ell_{32}=\frac{a'_{32}}{u_{22}}=\frac{-\tfrac{6}{5}}{\tfrac{99}{10}}=\frac{-6}{5}\cdot\frac{10}{99}=\frac{-4}{33}.
Agora atualizamos o elemento (3,3) em U:
u_{33}=a'_{33}-\ell_{32}\,a'_{23}=\frac{51}{5}-\Bigl(-\frac{4}{33}\Bigr)\cdot\frac{11}{10} =\frac{51}{5}+\frac{44}{330}=\frac{341}{33}=\frac{31}{3}.
Portanto as matrizes L e U obtidas são
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{10} & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{5} & -\frac{4}{33} & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1\\[4pt] 0 & \frac{99}{10} & \frac{11}{10}\\[4pt] 0 & 0 & \frac{31}{3} \end{pmatrix}.
Agora resolvemos Ly=b por substituição direta (forward). Explicando a técnica: para L y=b com L triangular inferior, começamos por y_{1}=b_{1} e calculamos cada y_{i} subtraindo os termos já conhecidos:
\begin{aligned} y_{1} &= b_{1}=10,\\[4pt] y_{2} &= b_{2}-\ell_{21}y_{1}=12-\frac{1}{10}\cdot 10=12-1=11,\\[4pt] y_{3} &= b_{3}-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2} =11-\frac{1}{5}\cdot 10-\Bigl(-\frac{4}{33}\Bigr)\cdot 11 =11-2+\frac{44}{33}= \frac{31}{3}. \end{aligned}
Em seguida resolvemos U x = y por substituição retroativa (backward). Técnica: comece por x_{n}=y_{n}/u_{nn} e vá para cima:
\begin{aligned} \frac{31}{3}\,x_{3}&=y_{3}=\frac{31}{3}\quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1,\\[4pt] \frac{99}{10}\,x_{2}+\frac{11}{10}\,x_{3}&=y_{2}=11 \quad\Longrightarrow\quad \frac{99}{10}\,x_{2}+\frac{11}{10}\cdot 1=11 \Rightarrow 99x_{2}=99\Rightarrow x_{2}=1,\\[4pt] 10\,x_{1}+1\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}&=y_{1}=10 \quad\Longrightarrow\quad 10x_{1}+1-1=10\Rightarrow 10x_{1}=10\Rightarrow x_{1}=1. \end{aligned}
Resultado final da parte (a): a solução exata é
x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

(b) Escolha do método e iterações (com arredondamento 5 casas decimais).
Primeiro: critério de escolha e convergência. Uma condição suficiente para convergência dos métodos iterativos Jacobi e Gauss-Seidel é que A seja estritamente dominantes por linhas (Critério das linhas). Neste sistema cada linha tem |a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}| (verificaremos em (c)), logo tanto Jacobi quanto Gauss-Seidel convergem. Entre os dois, Gauss-Seidel costuma convergir mais rápido porque, ao atualizar x_i numa iteração, ele já usa os valores mais recentes x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} no cálculo de x_i^{(k+1)}, enquanto Jacobi usa apenas os valores antigos x^{(k)}. Por isso escolho marcar X em Gauss-Seidel.
Marcação pedida:
  • Método de Gauss-Jacobi.
  • Método de Gauss-Seidel. X ← escolhi este (Gauss-Seidel).
Agora aplico Gauss-Seidel com as fórmulas obtidas isolando cada incógnita (rearranjo das equações):
\begin{aligned} x_{1} &= \frac{10 - x_{2} + x_{3}}{10},\\[4pt] x_{2} &= \frac{12 - x_{1} - x_{3}}{10},\\[4pt] x_{3} &= \frac{11 - 2x_{1} + x_{2}}{10}. \end{aligned}
Regra para iterações (Gauss-Seidel): para cada iteração k+1 usamos já os valores atualizados conforme calculamos:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{10-x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{10},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{12-x_{1}^{(k+1)}-x_{3}^{(k)}}{10},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{11-2x_{1}^{(k+1)}+x_{2}^{(k+1)}}{10}.
Instrução de arredondamento: vou arredondar cada componente para 5 casas decimais logo após o cálculo (ou seja, guardar cada x_i^{(k)} com 5 casas decimais) e o critério de parada é \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon com \varepsilon=0,05.
Começando com x^{(0)}=(0,0,0):
Iteração 1:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{10-0+0}{10}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}^{(1)}=1{,}00000,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{12-1-0}{10}=1{,}1 \quad\Rightarrow\quad x_{2}^{(1)}=1{,}10000,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=\frac{11-2\cdot 1+1{,}10000}{10}=\frac{11-2+1{,}1}{10}=\frac{10{,}1}{10}=1{,}01 \quad\Rightarrow\quad x_{3}^{(1)}=1{,}01000. \end{aligned}
Logo
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1{,}00000\\[4pt]1{,}10000\\[4pt]1{,}01000\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=1{,}10000>0{,}05, continuar.
Iteração 2:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{10-1{,}10000+1{,}01000}{10}=\frac{9{,}91000}{10}=0{,}99100,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{12-0{,}99100-1{,}01000}{10}=\frac{9{,}99900}{10}=0{,}99990,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=\frac{11-2\cdot 0{,}99100+0{,}99990}{10} =\frac{11-1{,}98200+0{,}99990}{10}=\frac{10{,}01790}{10}=1{,}00179. \end{aligned}
Arredondando cada entrada a 5 casas decimais:
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}99100\\[4pt]0{,}99990\\[4pt]1{,}00179\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max(0{,}00900,\;0{,}10010,\;0{,}00821)=0{,}10010>0{,}05, continuar.
Iteração 3:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{10-0{,}99990+1{,}00179}{10}=\frac{10{,}00189}{10}=1{,}000189\approx 1{,}00019,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{12-1{,}00019-1{,}00179}{10}=\frac{9{,}99802}{10}=0{,}999802\approx 0{,}99980,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=\frac{11-2\cdot 1{,}00019+0{,}99980}{10} =\frac{11-2{,}00038+0{,}99980}{10}=\frac{9{,}99942}{10}=0{,}999942\approx 0{,}99994. \end{aligned}
Com arredondamento a 5 casas:
x^{(3)}=\begin{pmatrix}1{,}00019\\[4pt]0{,}99980\\[4pt]0{,}99994\end{pmatrix}.
Agora a diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max(|1{,}00019-0{,}99100|,\;|0{,}99980-0{,}99990|,\;|0{,}99994-1{,}00179|)
=\max(0{,}00919,\;0{,}00010,\;0{,}00185)=0{,}00919<0{,}05,
ou seja, o critério de parada foi satisfeito. Portanto a aproximação obtida (com as regras de arredondamento dadas) é
x^{\text{(aprox)}}=\begin{pmatrix}1{,}00019\\[4pt]0{,}99980\\[4pt]0{,}99994\end{pmatrix}.]

Passo 4

(c) Verificação do Critério das linhas (dominância diagonal por linhas).
O Critério das linhas diz: uma matriz A=[a_{ij}] é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Verifico linha a linha (tou pegando os coeficientes diretamente da matriz A dada no enunciado):
  • Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\ne 1}|a_{1j}|=|1|+|-1|=1+1=2. Logo 10>2.
  • Linha 2: |a_{22}|=10 e \sum_{j\ne 2}|a_{2j}|=|1|+|1|=2. Logo 10>2.
  • Linha 3: |a_{33}|=10 e \sum_{j\ne 3}|a_{3j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Logo 10>3.
Como em todas as linhas temos desigualdade estrita, o sistema satisfaz o Critério das linhas (a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas). Isso garante, entre outras coisas, a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel.

Resposta

(a) x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(b) Método escolhido: Gauss-Seidel (marcado X). Aproximação obtida (parando quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,05, arredondando a 5 casas): \;x^{\text{(aprox)}}=\begin{pmatrix}1{,}00019\\[4pt]0{,}99980\\[4pt]0{,}99994\end{pmatrix}.
(c) Sim. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, pois 10>1+1, 10>1+1 e 10>2+1 nas linhas 1, 2 e 3, respectivamente.]

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