e pede duas coisas:
(a) resolver o sistema usando a eliminação de Gauss;
(b) resolver o sistema usando a fatoração \,LU (ou seja, escrever A=LU e depois usar essa fatoração para obter a solução).
As informações relevantes são os coeficientes da matriz dos coeficientes
Vou começar pelo método da eliminação de Gauss (parte (a)). Primeiro explico a ideia: transformar o sistema numa forma triangular superior por operações elementares nas linhas (somar múltiplos de linhas a outras linhas), de modo que a matriz dos coeficientes fique triangular superior. Depois usamos substituição regressiva para encontrar as incógnitas. Operações elementares não mudam o conjunto de soluções. Para trabalhar de forma prática, escrevemos a matriz aumentada \,[A\mid b]\,:
Agora passo para a parte (b): fatoração LU. Primeiro explico a ideia: escrevemos A=LU com L triangular inferior com diag(L) = 1 e U triangular superior. Usamos os mesmos multiplicadores \ell_{ij} que aparecem na eliminação de Gauss (Doolittle). Depois resolvemos LUx=b por duas fases: Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição regressiva).
Esses serão L_{21} e L_{31}. Após eliminar a primeira coluna abaixo do pivô obtemos a segunda linha (modificada) com entradas \dfrac{2}{5},\dfrac{2}{5} e segunda coluna pivot \dfrac{2}{5}. O multiplicador para eliminar a posição (3,2) é
\ell_{32}=1,
que será L_{32}.]
Passo 12
Montamos L e U usando esses multiplicadores e os pivôs. Pela construção Doolittle (diagonal de L com 1) temos
Da terceira já vem x_3=-\dfrac{6}{5}. Substituindo na segunda obtemos, como antes, x_2=\dfrac{87}{10}. Finalmente, da primeira vem x_1=-\dfrac{1}{2}. Assim a solução obtida por LU é a mesma da parte (a).]
Passo 15
Pequeno resumo didático e motivacional: o método de eliminação de Gauss transforma a matriz em triangular superior com operações nas linhas — é direto e ótimo para resolver um sistema. A fatoração LU registra os multiplicadores dessas operações na matriz L e o resultado triangular na matriz U; isso é muito útil quando temos que resolver o mesmo sistema para vários vetores b (fazemos a fatoração uma vez e depois apenas as duas substituições Ly=b e Ux=y). Você fez um bom trabalho acompanhando passo a passo — esses cálculos com frações são chatos mas diretos, e agora você tem duas formas de resolver o mesmo problema.