Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=0 \end{array}\right.
(a) Usando a eliminação de Gauss
(b) Usando a fatoração LU

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5,\\[4pt] 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] 3 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=0, \end{array}\right.
e pede duas coisas:
(a) resolver o sistema usando a eliminação de Gauss;
(b) resolver o sistema usando a fatoração \,LU (ou seja, escrever A=LU e depois usar essa fatoração para obter a solução).
As informações relevantes são os coeficientes da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[4pt]3 & 1 & 1\\[4pt]3 & 1 & 6\end{pmatrix}
e o vetor de termos independentes
b=\begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vou começar pelo método da eliminação de Gauss (parte (a)). Primeiro explico a ideia: transformar o sistema numa forma triangular superior por operações elementares nas linhas (somar múltiplos de linhas a outras linhas), de modo que a matriz dos coeficientes fique triangular superior. Depois usamos substituição regressiva para encontrar as incógnitas. Operações elementares não mudam o conjunto de soluções. Para trabalhar de forma prática, escrevemos a matriz aumentada \,[A\mid b]\,:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 6 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeiro pivot: usar 5 (posição (1,1)). Para zerar a entrada (2,1) fazemos L_2 \leftarrow L_2 - \ell_{21}L_1 com o multiplicador
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{3}{5}.
Para zerar a entrada (3,1) fazemos L_3 \leftarrow L_3 - \ell_{31}L_1 com
\ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{3}{5}.
Esses \ell_{ij} são os mesmos multiplicadores que aparecem também na fatoração LU — guardaremos isso para a parte (b).

Passo 4

Aplicando as operações indicadas na matriz aumentada:
Linha 2 nova:
\begin{array}{l} 3 - \dfrac{3}{5}\cdot 5 = 0,\\[6pt] 1 - \dfrac{3}{5}\cdot 1 = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5},\\[6pt] 1 - \dfrac{3}{5}\cdot 1 = \dfrac{2}{5},\\[6pt] 6 - \dfrac{3}{5}\cdot 5 = 6 - 3 = 3. \end{array}
Linha 3 nova:
\begin{array}{l} 3 - \dfrac{3}{5}\cdot 5 = 0,\\[6pt] 1 - \dfrac{3}{5}\cdot 1 = \dfrac{2}{5},\\[6pt] 6 - \dfrac{3}{5}\cdot 1 = 6 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{27}{5},\\[6pt] 0 - \dfrac{3}{5}\cdot 5 = 0 - 3 = -3. \end{array}
Então a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5} & 3\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{5} & \dfrac{27}{5} & -3 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora o segundo pivot é a entrada (2,2), que vale \dfrac{2}{5}. Para zerar a entrada (3,2) usamos o multiplicador
\ell_{32}=\frac{\text{entrada }(3,2)}{\text{pivot }(2,2)}=\frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{2}{5}}=1.
Então fazemos L_3 \leftarrow L_3 - 1\cdot L_2.

Passo 6

Aplicando L_3 \leftarrow L_3 - L_2:
\begin{array}{l} 0 - 0 = 0,\\[4pt] \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{5} = 0,\\[6pt] \dfrac{27}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{25}{5} = 5,\\[6pt] -3 - 3 = -6. \end{array}
A matriz aumentada triangular superior fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5} & 3\\[6pt] 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva (back substitution) para encontrar x_3,x_2,x_1. A equação da terceira linha é
5 x_3 = -6.
Logo
x_3 = \frac{-6}{5} = -\dfrac{6}{5}.

Passo 8

A segunda linha dá
\dfrac{2}{5} x_2 + \dfrac{2}{5} x_3 = 3.
Substituindo x_3=-\dfrac{6}{5}:
\dfrac{2}{5} x_2 + \dfrac{2}{5}\left(-\dfrac{6}{5}\right) = 3.
Multiplicando ambos os lados por 5 para simplificar:
2 x_2 + 2\left(-\dfrac{6}{5}\right) = 15.
Mas cuidado: ao multiplicar por 5 temos
2 x_2 + 2\left(-\dfrac{6}{5}\right)=15
ou melhor ainda, calcular a parte numérica primeiro:
\dfrac{2}{5}\left(-\dfrac{6}{5}\right) = -\dfrac{12}{25}.
Para evitar confusão, é mais simples multiplicar por 5 direto na equação original:
2 x_2 + 2\left(-\dfrac{6}{5}\right) = 15
isso dá
2 x_2 - \dfrac{12}{5} = 15.
Somando \dfrac{12}{5} aos dois lados:
2 x_2 = 15 + \dfrac{12}{5} = \dfrac{75}{5} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{87}{5}.
Então
x_2 = \dfrac{87}{10}.
(Nota: outra forma direta: \dfrac{2}{5}x_2 = 3 - \dfrac{2}{5}x_3 = 3 - \dfrac{2}{5}\cdot\left(-\dfrac{6}{5}\right)=3+\dfrac{12}{25}=\dfrac{75}{25}+\dfrac{12}{25}=\dfrac{87}{25}, então x_2=(87/25)/(2/5)= (87/25)\cdot(5/2)=87/10.)

Passo 9

Finalmente a primeira linha dá
5 x_1 + x_2 + x_3 = 5.
Substituímos x_2=\dfrac{87}{10} e x_3=-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{12}{10}:
5 x_1 + \dfrac{87}{10} - \dfrac{12}{10} = 5.
Somando as frações:
5 x_1 + \dfrac{75}{10} = 5.
Notando que \dfrac{75}{10}=\dfrac{15}{2}, então
5 x_1 + \dfrac{15}{2} = 5.
Subtraindo \dfrac{15}{2}:
5 x_1 = 5 - \dfrac{15}{2} = \dfrac{10}{2} - \dfrac{15}{2} = -\dfrac{5}{2}.
Portanto
x_1 = -\dfrac{1}{2}.

Passo 10

Resumindo a parte (a) pelo método da eliminação de Gauss: a solução é
x_1=-\dfrac{1}{2},\qquad x_2=\dfrac{87}{10},\qquad x_3=-\dfrac{6}{5}.
Agora passo para a parte (b): fatoração LU. Primeiro explico a ideia: escrevemos A=LU com L triangular inferior com diag( L) = 1 e U triangular superior. Usamos os mesmos multiplicadores \ell_{ij} que aparecem na eliminação de Gauss (Doolittle). Depois resolvemos LUx=b por duas fases: Ly=b (substituição direta) e Ux=y (substituição regressiva).

Passo 11

Relembro a matriz A:
A=\begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[4pt]3 & 1 & 1\\[4pt]3 & 1 & 6\end{pmatrix}.
Pelo processo de eliminação já fizemos os multiplicadores da primeira coluna:
\ell_{21}=\frac{3}{5},\qquad \ell_{31}=\frac{3}{5}.
Esses serão L_{21} e L_{31}. Após eliminar a primeira coluna abaixo do pivô obtemos a segunda linha (modificada) com entradas \dfrac{2}{5},\dfrac{2}{5} e segunda coluna pivot \dfrac{2}{5}. O multiplicador para eliminar a posição (3,2) é
\ell_{32}=1,
que será L_{32}.]

Passo 12

Montamos L e U usando esses multiplicadores e os pivôs. Pela construção Doolittle (diagonal de L com 1) temos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \dfrac{3}{5} & 1 & 0\\[6pt] \dfrac{3}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix},
e a matriz U é a forma triangular superior que sobrou ao final da eliminação:
U=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Para checar rapidamente, podemos multiplicar L por U e verificar que retorna A (isso é uma verificação mecânica e funciona: L U = A).]

Passo 13

Agora usamos LUx=b. Primeiro resolvemos Ly=b por substituição direta (forward substitution). Escrevemos as equações correspondentes a Ly=b:
\begin{array}{l} y_1 = b_1 = 5,\\[6pt] \dfrac{3}{5}y_1 + y_2 = b_2 = 6,\\[6pt] \dfrac{3}{5}y_1 + 1\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = b_3 = 0. \end{array}
Substituindo y_1=5 na segunda:
\dfrac{3}{5}\cdot 5 + y_2 = 6 \implies 3 + y_2 = 6 \implies y_2 = 3.
Na terceira:
\dfrac{3}{5}\cdot 5 + y_2 + y_3 = 0 \implies 3 + 3 + y_3 = 0 \implies y_3 = -6.
Portanto
y=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 14

Agora resolvemos Ux=y por substituição regressiva. As equações de Ux=y são
\begin{array}{l} 5 x_1 + 1 x_2 + 1 x_3 = 5,\\[6pt] \dfrac{2}{5} x_2 + \dfrac{2}{5} x_3 = 3,\\[6pt] 5 x_3 = -6. \end{array}
Da terceira já vem x_3=-\dfrac{6}{5}. Substituindo na segunda obtemos, como antes, x_2=\dfrac{87}{10}. Finalmente, da primeira vem x_1=-\dfrac{1}{2}. Assim a solução obtida por LU é a mesma da parte (a).]

Passo 15

Pequeno resumo didático e motivacional: o método de eliminação de Gauss transforma a matriz em triangular superior com operações nas linhas — é direto e ótimo para resolver um sistema. A fatoração LU registra os multiplicadores dessas operações na matriz L e o resultado triangular na matriz U; isso é muito útil quando temos que resolver o mesmo sistema para vários vetores b (fazemos a fatoração uma vez e depois apenas as duas substituições Ly=b e Ux=y). Você fez um bom trabalho acompanhando passo a passo — esses cálculos com frações são chatos mas diretos, e agora você tem duas formas de resolver o mesmo problema.

Resposta

(a) \;x_1=-\dfrac{1}{2},\;x_2=\dfrac{87}{10},\;x_3=-\dfrac{6}{5}.
(b) \;L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]\dfrac{3}{5} & 1 & 0\\[6pt]\dfrac{3}{5} & 1 & 1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[4pt]0 & \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{5}\\[6pt]0 & 0 & 5\end{pmatrix} (e a solução obtida é a mesma do item (a)).]

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