(1 ponto) Considerando que a raiz quadrada positiva do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão varepsilon=0,01. Use um arredondandamento de 5 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raiz7 resolvendo a equação
f(x)=x^2-7=0
no intervalo inicial [2,3], usando o método da bisseção até que o comprimento do intervalo seja menor que varepsilon=0,01. Vamos aplicar repetidas divisões do intervalo, escolhendo o subintervalo onde f muda de sinal.

Passo 2

Definimos
a1=2,00000, b1=3,00000, c1=a1+b12=2,50000
Calculamos
f(c1)=2,50000^2-7=-0,75000<0,
logo a raiz está em [2,50000,3,00000].

Passo 3

Tomamos
a2=2,50000, b2=3,00000, c2=a2+b22=2,75000
Calculamos
f(c2)=2,75000^2-7=0,56250>0,
logo agora a raiz está em [2,50000,2,75000].

Passo 4

a3=2,50000, b3=2,75000, c3=a3+b32=2,62500,
f(c3)=2,62500^2-7=-0,10938<0Longrightarrow[2,62500,2,75000]

Passo 5

a4=2,62500, b4=2,75000, c4=a4+b42=2,68750,
f(c4)=2,68750^2-7=0,22266>0Longrightarrow[2,62500,2,68750]

Passo 6

a5=2,62500, b5=2,68750, c5=a5+b52=2,65625,
f(c5)=2,65625^2-7=0,05566>0Longrightarrow[2,62500,2,65625]

Passo 7

a6=2,62500, b6=2,65625, c6=a6+b62=2,64063,
f(c6)=2,64063^2-7=-0,02710<0Longrightarrow[2,64063,2,65625]

Passo 8

a7=2,64063, b7=2,65625, c7=a7+b72=2,64844,
f(c7)=2,64844^2-7=0,01422>0Longrightarrow[2,64063,2,64844]
Neste ponto o comprimento do intervalo é
b7-a7=2,64844-2,64063=0,00781<0,01,
portanto podemos parar.

Resposta

Como estimativa final, tomamos o ponto médio do último intervalo:
xaprox=2,64063+2,648442=2,64453
Logo raiz7approx2,64453 com precisão varepsilon=0,01.

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