Responda as seguintes questões:
Descreva a fórmula do método de Newton-Raphson e discuta uma situação em que ele falha.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a fórmula do método de Newton–Raphson, que é um procedimento iterativo para achar raízes de uma função f(x), e discutir um caso em que ele falha. Vamos usar a ideia de aproximação pela reta tangente e analisar a importância de f' na convergência.

Passo 2

No método de Newton–Raphson, a cada iteração usamos a reta tangente ao gráfico de f em xn para aproximar a raiz. A fórmula iterativa é
xn+1 = xn ;-;f(xn)f'(xn)

Passo 3

Para que o método converja (idealmente de forma quadrática) é preciso que:
1. f seja duas vezes continuamente diferenciável perto da raiz r.
2. f'(r)neq 0.
3. O palpite inicial x0 esteja suficientemente próximo de r.
Se f'(xn) for zero ou muito pequeno, o passo f(xn)f'(xn) pode explodir ou ficar indefinido.

Passo 4

Um exemplo clássico de falha ocorre quando a derivada tende a infinito ou se anula na vizinhança da raiz. Considere
f(x)=x^1/3,
que tem raiz em r=0 mas cuja derivada
f'(x)=tfrac13,x^-2/3
é singular em x=0.

Passo 5

Aplicando a fórmula em qualquer xn neq 0,
xn+1 = xn - xn^1/3tfrac13xn^-2/3 = xn - 3 cdot xn = -2 cdot xn,
de modo que as iterações seguem x1 = -2 x0, x2 = 4 x0, x3 = -8 x0\dots e claramente divergem em vez de convergir para 0.

Resposta

A fórmula do método de Newton–Raphson é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Ele pode falhar quando f'(x) for zero ou mal-comportada perto da raiz, como no caso f(x)=x^1/3, em que a derivada é singular em 0 e o método gera iterações divergentes.

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