Responda as seguintes questões:
Descreva a fórmula do método de Newton-Raphson e discuta uma situação em que ele falha.
Descreva a fórmula do método de Newton-Raphson e discuta uma situação em que ele falha.
Passo 1
O enunciado pede para descrever a fórmula do método de Newton–Raphson, que é um procedimento iterativo para achar raízes de uma função
, e discutir um caso em que ele falha. Vamos usar a ideia de aproximação pela reta tangente e analisar a importância de
na convergência.
Passo 2
No método de Newton–Raphson, a cada iteração usamos a reta tangente ao gráfico de
em
para aproximar a raiz. A fórmula iterativa é
Passo 3
Para que o método converja (idealmente de forma quadrática) é preciso que:
.
seja duas vezes continuamente diferenciável perto da raiz
.
.
.
. O palpite inicial
esteja suficientemente próximo de
.
Se for zero ou muito pequeno, o passo
pode explodir ou ficar indefinido.
Se
Passo 4
Um exemplo clássico de falha ocorre quando a derivada tende a infinito ou se anula na vizinhança da raiz. Considere
que tem raiz em
mas cuja derivada
é singular em
.
Passo 5
Aplicando a fórmula em qualquer
,
de modo que as iterações seguem
,
,
\dots e claramente divergem em vez de convergir para
.
Resposta
A fórmula do método de Newton–Raphson é
Ele pode falhar quando
for zero ou mal-comportada perto da raiz, como no caso
, em que a derivada é singular em
e o método gera iterações divergentes.