(… pontos) Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:
(a) ( ) Ao buscar uma equação de segundo grau por meio do método dos mínimos quadrados para os dados (0,2),(1,8),(2,14),(3,28),(4,40),(5,61) obtemos \vec{y}=(2,8,14,28,40,61), \overrightarrow{g_{1}}= (1,1,1,1,1), \overrightarrow{g_{2}}=(0,1,2,3,4,5), e \overrightarrow{g_{3}}=(0,1,4,9,16,25)
(b) ( ) Ao buscar uma equação do tipo y=a e^{b x} pelo método dos mínimos quadrado é preciso fazer uma linearização do tipo z=\ln (y)=\ln (a)+b x
(c) ( ) Ao selecionar o modelo não linear y=a x^{b} no método dos mínimos quadrado e após aplicar a linearização, obtêm-se g_{1}(x)=1 e g_{2}(x)=\ln (x).
(d) ( ) Pela regra do trapézio, obtemos \int_{1}^{2} e^{x^{2}} d x \approx 28,658216.
(e) ( ) Pela regra 1 / 3 de Simpson, obtemos \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx 0,7472.
(f) ( ) Pela Quadratura Gaussiana, obtemos \int_{-1}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx 1,43306
(g) ( ) A regra de Simpson requer número par de subintervalos
(h) ( ) A quadratura gaussiana é exata para polinômios de grau menor ou igual a 3
(i) ( ) A Regra do trapézio repetida pode integrar exatamente polinômios até grau 1.
(j) ( ) A regra de Simpson repetida pode integrar exatamente polinômios até grau 4.
Passo 1
Você me deu uma lista de afirmações (a) a (j) para marcar como verdadeiras (V) ou falsas (F). Seguem as informações do enunciado que eu preciso usar (resumo claro do que é pedido):
São 10 afirmações, cada uma sobre métodos numéricos (mínimos quadrados, linearizações, regras de integração numérica — trapézio, Simpson, quadratura de Gauss — e propriedades de exatidão).
Para cada afirmação devo decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar.
Dados usados explicitamente no enunciado (para (a)): pontos (0,2),(1,8),(2,14),(3,28),(4,40),(5,61) e vetores \vec{y}=(2,8,14,28,40,61), \overrightarrow{g_{1}}=(1,1,1,1,1,1), \overrightarrow{g_{2}}=(0,1,2,3,4,5), \overrightarrow{g_{3}}=(0,1,4,9,16,25).
Para (d),(e),(f) há valores numéricos propostos de aproximações por regras numéricas.
Pedido: avaliar cada item e justificar com cálculos/argumentos didáticos.
Passo 2
(a) Análise e justificativa detalhada.
O método dos mínimos quadrados para ajustar uma parábola (equação de segundo grau) usa como funções base g_{1}(x)=1,\; g_{2}(x)=x,\; g_{3}(x)=x^{2}. Para os pontos com abscissas x=0,1,2,3,4,5 construímos os vetores avaliando cada g_{j} nesses x:
O enunciado deu exatamente esses vetores e o vetor resposta \vec{y}=(2,8,14,28,40,61). Logo a afirmação descreve corretamente os vetores usados no ajuste por mínimos quadrados. Portanto (a) é verdadeira (V).
Passo 3
(b) Análise e justificativa didática.
O modelo y=a e^{b x} é não-linear nos parâmetros a,b, mas se aplicamos a transformação logarítmica em y (quando y>0) obtemos
z=\ln(y)=\ln(a)+b x,
ou seja, um modelo linear em \ln(a) e b com variável independente x. Isso permite aplicar mínimos quadrados lineares em (x,z). Observação: é preciso que y>0 para tomar \ln(y) e a transformação muda a estrutura do erro (tratamento estatístico diferente), mas matematicamente a linearização indicada é a maneira padrão. Logo (b) é verdadeira (V).
Passo 4
(c) Análise e justificativa didática.
O modelo y=a x^{b} pode ser linearizado tomando logaritmo em ambos os lados (necessário x>0 e y>0):
\ln(y)=\ln(a)+b\ln(x).
Chamando z=\ln(y) e A=\ln(a), obtemos z=A + b\cdot \ln(x). Isso é um modelo linear em A e b com funções base g_{1}(x)=1 e g_{2}(x)=\ln(x). Portanto a afirmação que diz que após a linearização obtêm-se g_{1}(x)=1 e g_{2}(x)=\ln(x) está correta, com a ressalva do domínio x>0. Assim (c) é verdadeira (V).
Passo 5
(d) Análise e cálculo passo a passo (regra do trapézio, caso simples).
A regra do trapézio simples (um intervalo [a,b]) dá a aproximação
A aproximação 0,7472 indicada é compatível com a regra de Simpson. Portanto (e) é verdadeira (V).
Passo 7
(f) Análise e cálculo passo a passo (Quadratura Gaussiana de 2 pontos sobre [-1,1]).
A quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos tem nós x_{1}=-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\; x_{2}=+\tfrac{1}{\sqrt{3}} e pesos w_{1}=w_{2}=1. A aproximação é
Portanto a afirmação (f) com aproximado 1,43306 corresponde à quadratura de Gauss de 2 pontos e está correta. Logo (f) é verdadeira (V).
Passo 8
(g) Justificativa teórica simples sobre a regra de Simpson (número de subintervalos).
A regra composta de Simpson (método de Simpson repetido) constrói parabolas em pares de subintervalos consecutivos, por isso exige que o número total de subintervalos n seja par (cada aplicação de Simpson usa 2 subintervalos). Assim a afirmação “A regra de Simpson requer número par de subintervalos” é correta. Portanto (g) é verdadeira (V).
Passo 9
(h) Discussão sobre grau de exatidão da quadratura gaussiana — cuidado com ambiguidade.
A propriedade geral da quadratura de Gauss-Legendre com n pontos é: ela é exata para todos os polinômios de grau ≤ 2n-1. Ou seja, o grau de exatidão depende do número de pontos n. A afirmação dada só diz “A quadratura gaussiana é exata para polinômios de grau menor ou igual a 3” sem especificar n. Essa afirmação só é verdade se estivermos a falar especificamente da quadratura de Gauss com n=2 pontos (pois 2\cdot 2-1=3). Como a frase é genérica e não indica o número de pontos, está incorreta em geral (por exemplo, com n=3 ela é exata até grau 5, com n=4 até grau 7, etc.). Portanto a afirmação, entendida de forma geral, é falsa. Assim (h) é falsa (F).
Passo 10
(i) Exatidão da regra do trapézio repetida.
A regra do trapézio (simples) é exacta para polinômios até grau 1 (funções lineares) — isto é, o erro de integração para polinômio de grau ≤ 1 é zero. A regra composta (repetida) do trapézio mantém essa propriedade: integra exatamente polinômios de grau ≤ 1. Então a afirmação “A Regra do trapézio repetida pode integrar exatamente polinômios até grau 1” é correta. Portanto (i) é verdadeira (V).
Passo 11
(j) Exatidão da regra de Simpson repetida.
A regra de Simpson (simples) tem grau de exatidão 3: é exata para todos os polinômios de grau ≤ 3. A regra composta (repetida) de Simpson também tem a mesma propriedade de exatidão (até grau 3). A afirmação diz que a regra de Simpson repetida integra exatamente polinômios até grau 4; isso é falso (não é exata para todos os polinômios de grau 4 em geral). Portanto (j) é falsa (F).
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) V
(f) V
(g) V
(h) F
(i) V
(j) F