Pela Regra de Simpson (
), calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando a Regra composta de Simpson com
.
Informações dadas e objetivos claros:
Informações dadas e objetivos claros:
- Intervalo de integração:
. - Função a integrar:
. - Número de subintervalos:
(note que Simpson exige par — aqui já é par). - Objetivo: aplicar a Regra de Simpson composta para obter uma aproximação numérica da integral.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a Regra composta de Simpson de forma didática.
Se dividimos em
subintervalos iguais, com
par, então o tamanho do passo é
Se dividimos
Chamando
e
, a Regra composta de Simpson dá a aproximação
O que cada símbolo significa:
-
e : extremos do intervalo de integração; -
: número de subintervalos (tem que ser par); -
: largura de cada subintervalo; -
: pontos de amostragem (nós); -
: valores da função em cada nó; - As somas com coeficiente 4 percorrem os índices ímpares internos; as com coeficiente 2 percorrem os índices pares internos.
Essa fórmula é uma combinação de aplicações da Regra de Simpson em pares de subintervalos, e é muito conveniente porque usa pesos 1,4,2,4,2,…,4,1.
Passo 3
Calculo os parâmetros para o nosso caso. Aqui
,
,
. Logo
Em particular, para simplificar a multiplicação final, observe que
Os nós são
para
.
Passo 4
Agora calculo os
e os valores
. Vou listar os nós e os valores numéricos (usei aproximações numéricas para
e
; em prova você pode usar calculadora seguindo esse mesmo procedimento):
Observação didática: para cada
calculei primeiro
(valores padrão para ângulos como
etc. ou usando calculadora) e depois apliquei
. Perto de
a função
se comporta como
(derivada singular), então a função é menos regular ali — isso explica porque a aproximação numérica pode convergir mais devagar do que para funções bem suaves.]
Passo 5
Agora aplico a fórmula de Simpson. Primeiro somas necessárias:
Aplicando Simpson:
Calculo interno:
Somando tudo no colchete:
Passo 6
Multiplico pelo fator
:
Arredondando para precisão usual, obtemos aproximadamente
.
Comentário final e motivacional: a Regra de Simpson deu uma aproximação numérica clara seguindo o passo a passo. Note que a função tem comportamento singular na derivada em
, então o erro pode ser um pouco maior do que para funções muito suaves — se quiser aumentar a precisão, aumenta-se
(por exemplo
ou
).