Pela Regra de Simpson ( \mathrm{n}=8 ), calcule cada uma das integrais abaixo.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\operatorname{sen}(x)}\,dx
usando a Regra composta de Simpson com n=8.
Informações dadas e objetivos claros:
  • Intervalo de integração: \left[0,\frac{\pi}{2}\right].
  • Função a integrar: f(x)=\sqrt{\operatorname{sen}(x)}.
  • Número de subintervalos: n=8 (note que Simpson exige n par — aqui já é par).
  • Objetivo: aplicar a Regra de Simpson composta para obter uma aproximação numérica da integral.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a Regra composta de Simpson de forma didática.
Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais, com n par, então o tamanho do passo é
h=\frac{b-a}{n}.
Chamando x_k=a+k h e f_k=f(x_k), a Regra composta de Simpson dá a aproximação
S_n=\frac{h}{3}\Big(f_0+f_n + 4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f_k + 2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f_k\Big).í
O que cada símbolo significa:
  • a e b: extremos do intervalo de integração;
  • n: número de subintervalos (tem que ser par);
  • h: largura de cada subintervalo;
  • x_k: pontos de amostragem (nós);
  • f_k: valores da função em cada nó;
  • As somas com coeficiente 4 percorrem os índices ímpares internos; as com coeficiente 2 percorrem os índices pares internos.
Essa fórmula é uma combinação de aplicações da Regra de Simpson em pares de subintervalos, e é muito conveniente porque usa pesos 1,4,2,4,2,…,4,1.

Passo 3

Calculo os parâmetros para o nosso caso. Aqui a=0, b=\dfrac{\pi}{2}, n=8. Logo
h=\frac{b-a}{n}=\frac{\pi/2}{8}=\frac{\pi}{16}.
Em particular, para simplificar a multiplicação final, observe que
\frac{h}{3}=\frac{\pi}{48}.
Os nós são x_k = 0 + k\cdot\frac{\pi}{16} para k=0,1,\dots,8.

Passo 4

Agora calculo os x_k e os valores f_k=\sqrt{\operatorname{sen}(x_k)}. Vou listar os nós e os valores numéricos (usei aproximações numéricas para \operatorname{sen} e \sqrt{\cdot}; em prova você pode usar calculadora seguindo esse mesmo procedimento):
\begin{aligned} x_0&=0, & f_0&=\sqrt{\operatorname{sen}(0)}=0,\\[4pt] x_1&=\dfrac{\pi}{16}\\ (\approx 11{,}25^\circ), & f_1&=\sqrt{\operatorname{sen}(\pi/16)}\approx 0{,}44169028,\\[4pt] x_2&=\dfrac{\pi}{8}\\ (\approx 22{,}5^\circ), & f_2&=\sqrt{\operatorname{sen}(\pi/8)}\approx 0{,}61861413,\\[4pt] x_3&=\dfrac{3\pi}{16}\\ (\approx 33{,}75^\circ), & f_3&=\sqrt{\operatorname{sen}(3\pi/16)}\approx 0{,}74536522,\\[4pt] x_4&=\dfrac{\pi}{4}\\ (\approx 45^\circ), & f_4&=\sqrt{\operatorname{sen}(\pi/4)}=\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}\approx 0{,}8408964153,\\[4pt] x_5&=\dfrac{5\pi}{16}\\ (\approx 56{,}25^\circ), & f_5&=\sqrt{\operatorname{sen}(5\pi/16)}\approx 0{,}91184955,\\[4pt] x_6&=\dfrac{3\pi}{8}\\ (\approx 67{,}5^\circ), & f_6&=\sqrt{\operatorname{sen}(3\pi/8)}\approx 0{,}9619397663,\\[4pt] x_7&=\dfrac{7\pi}{16}\\ (\approx 78{,}75^\circ), & f_7&=\sqrt{\operatorname{sen}(7\pi/16)}\approx 0{,}99034540,\\[4pt] x_8&=\dfrac{\pi}{2}\\ (\approx 90^\circ), & f_8&=\sqrt{\operatorname{sen}(\pi/2)}=1. \end{aligned}
Observação didática: para cada f_k calculei primeiro \operatorname{sen}(x_k) (valores padrão para ângulos como 22{,}5^\circ,45^\circ etc. ou usando calculadora) e depois apliquei \sqrt{\cdot}. Perto de x=0 a função \sqrt{\operatorname{sen} x} se comporta como \sqrt{x} (derivada singular), então a função é menos regular ali — isso explica porque a aproximação numérica pode convergir mais devagar do que para funções bem suaves.]

Passo 5

Agora aplico a fórmula de Simpson. Primeiro somas necessárias:
\sum_{k\\ \text{ímpar}} f_k = f_1+f_3+f_5+f_7 \approx 0{,}44169028+0{,}74536522+0{,}91184955+0{,}99034540 \approx 3{,}08925045,í
\sum_{k\\ \text{par}} f_k = f_2+f_4+f_6 \approx 0{,}61861413+0{,}8408964153+0{,}9619397663 \approx 2{,}4214503075.
Aplicando Simpson:
S_8=\frac{h}{3}\Big(f_0+f_8 + 4\sum_{\text{ímpar}} f_k + 2\sum_{\text{par}} f_k\Big) =\frac{\pi}{48}\Big(0+1 + 4\cdot 3{,}08925045 + 2\cdot 2{,}4214503075\Big).í
Calculo interno:
4\sum_{\text{ímpar}} f_k \approx 4\cdot 3{,}08925045 = 12{,}3570018,í
2\sum_{\text{par}} f_k \approx 2\cdot 2{,}4214503075 = 4{,}842900615.
Somando tudo no colchete:
1 + 12{,}3570018 + 4{,}842900615 \approx 18{,}199902415.

Passo 6

Multiplico pelo fator \dfrac{\pi}{48}:
S_8 \approx \frac{\pi}{48}\cdot 18{,}199902415 \approx 0{,}06544984695\cdot 18{,}199902415 \approx 1{,}19118082\ldots
Arredondando para precisão usual, obtemos aproximadamente 1{,}191181.
Comentário final e motivacional: a Regra de Simpson deu uma aproximação numérica clara seguindo o passo a passo. Note que a função tem comportamento singular na derivada em x=0, então o erro pode ser um pouco maior do que para funções muito suaves — se quiser aumentar a precisão, aumenta-se n (por exemplo n=16 ou n=32).

Resposta

1,191181

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