Pela Regra de Simpson (
), calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se aproximar a integral
usando a Regra de Simpson composta com . - Intervalo de integração:
. - Número de subintervalos:
(é par, OK para Simpson). - Função a integrar:
.
Passo 2
Apresentando a Regra de Simpson composta e explicando as variáveis (aula curtinha, do jeitinho que pede):
- Dividimos o intervalo
em subintervalos de mesmo tamanho , com par. Aqui , e . - O passo (largura de cada subintervalo) é
- Os nós são
, para . - A fórmula da Regra de Simpson composta é
Aqui cada termo tem um papel:
-
e são os extremos. - Os índices ímpares são multiplicados por
. - Os índices pares (exceto os extremos) são multiplicados por
. - No nosso caso,
. Vou usar essa forma no cálculo final.
Passo 3
Calcular os nós
e os senos correspondentes (uso identidades trigonométricas conhecidas para ter números exatos quando possível):
-
. Assim os nós são para . - Vamos listar
: -
-
(usei a forma exata para referência e depois decimais) -
-
-
- E, por simetria,
, , ,
-
Vou agora calcular
nos quatro primeiros nós e usar simetria para os demais, porque isto simplifica a soma (e é uma boa técnica em prova).
Passo 4
Calcular
com cuidado (vou mostrar como aproximar
por série de Taylor — é uma ferramenta útil em prova quando não se usa calculadora):
- Lembrete rápido: a série de Taylor para
centrada em 0 é
Para
entre
e
os primeiros termos (até
ou
) já dão boa precisão (erros bem pequenos). Vou usar isso para cada valor de
.
-
: então
-
: .
Usando a série até:
Agora os termos:
Logo
.
-
: .
Cálculo por série (valores conhecidos ajudam:, , , ):
Portanto
.
-
: .
Para esse caso usei também uma identidade para calcular potências com mais precisão:. Aplicando para e sabendo , cheguei em valores estáveis para etc. Os termos (após cálculos análogos aos anteriores) ficam aproximadamente:
Somando os termos da série:
Portanto
.
-
: . Então
Observação de simetria: como mencionei antes,
Passo 5
Montar a soma exigida pela Regra de Simpson usando a simetria para simplificar:
- A soma geral
dentro do colchete da fórmula de Simpson é
Usando as igualdades por simetria (
,
,
) obtemos uma forma mais compacta:
Agora substituímos as aproximações numéricas que calculamos:
Calculando cada parte:
Somando tudo com os
dos extremos:
Passo 6
Aplicar a fórmula final de Simpson:
- Lembre que
. - A aproximação da integral é
Substituindo
:
Um par de palavras finais pra te animar: deu trabalho, mas a técnica é direta — calcular alguns valores de
nos nós, aproveitar simetria e aplicar a fórmula de Simpson. Na prova, se você puder usar uma calculadora para avaliar
tudo fica bem mais rápido; sem calculadora, vale usar as séries e identidades trigonométricas como fiz aqui.
Resposta
6{,}208715