Pela Regra de Simpson ( \mathrm{n}=8 ), calcule cada uma das integrais abaixo.
\int_{0}^{\pi} e^{\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{\operatorname{sen}(x)}\,dx usando a Regra de Simpson composta com \mathrm{n}=8.
  • Intervalo de integração: [0,\pi].
  • Número de subintervalos: \mathrm{n}=8 (é par, OK para Simpson).
  • Função a integrar: f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 2

Apresentando a Regra de Simpson composta e explicando as variáveis (aula curtinha, do jeitinho que pede):
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo tamanho h, com n par. Aqui a=0, b=\pi e n=8.
  • O passo (largura de cada subintervalo) é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{\pi-0}{8}=\frac{\pi}{8}.
  • Os nós são x_i=a+i h, para i=0,1,\dots,n.
  • A fórmula da Regra de Simpson composta é
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\Big).í
Aqui cada termo tem um papel:
  • f(x_0) e f(x_n) são os extremos.
  • Os índices ímpares são multiplicados por 4.
  • Os índices pares (exceto os extremos) são multiplicados por 2.
  • No nosso caso, h/3=\dfrac{\pi/8}{3}=\dfrac{\pi}{24}. Vou usar essa forma no cálculo final.

Passo 3

Calcular os nós x_i e os senos correspondentes (uso identidades trigonométricas conhecidas para ter números exatos quando possível):
  • h=\dfrac{\pi}{8}. Assim os nós são x_i=i\pi/8 para i=0,\dots,8.
  • Vamos listar \operatorname{sen}(x_i):
    • \operatorname{sen}(x_0)=\operatorname{sen}(0)=0.
    • \operatorname{sen}(x_1)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\approx 0,3826834323650898. (usei a forma exata para referência e depois decimais)
    • \operatorname{sen}(x_2)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071067811865475.
    • \operatorname{sen}(x_3)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,9238795325112867.
    • \operatorname{sen}(x_4)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
    • E, por simetria, \operatorname{sen}(x_5)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right), \operatorname{sen}(x_6)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right), \operatorname{sen}(x_7)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right), \operatorname{sen}(x_8)=0.
Vou agora calcular f(x_i)=e^{\operatorname{sen}(x_i)} nos quatro primeiros nós e usar simetria para os demais, porque isto simplifica a soma (e é uma boa técnica em prova).

Passo 4

Calcular f(x_i)=e^{\operatorname{sen}(x_i)} com cuidado (vou mostrar como aproximar e^y por série de Taylor — é uma ferramenta útil em prova quando não se usa calculadora):
  • Lembrete rápido: a série de Taylor para e^y centrada em 0 é
e^{y}=1+y+\frac{y^{2}}{2!}+\frac{y^{3}}{3!}+\frac{y^{4}}{4!}+\frac{y^{5}}{5!}+\cdots
Para y entre 0 e 1 os primeiros termos (até y^5/5! ou y^6/6!) já dão boa precisão (erros bem pequenos). Vou usar isso para cada valor de y=\operatorname{sen}(x_i).
  1. i=0: \operatorname{sen}(x_0)=0 então
f(x_0)=e^{0}=1.
  1. i=1: y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\approx 0,3826834323650898.
    Usando a série até y^5:
\begin{aligned} y&\approx 0,3826834323650898,\\\ y^{2}&\approx 0,14644660940672627,\\\ y^{3}&\approx 0,0560625835747375\quad(\text{calculei }y^3 \text{ multiplicando}),\\\ y^{4}&\approx 0,021453343997\quad(\text{aprox.}),\\\ y^{5}&\approx 0,008212\quad(\text{aprox.}) \end{aligned}
Agora os termos:
\begin{aligned} e^{y}&\approx 1+y+\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{6}+\frac{y^{4}}{24}+\frac{y^{5}}{120}\\\ &\approx 1+0,3826834323651+0,0732233047034+0,0093437639291+0,000893889\,+0,0000684\\\ &\approx 1,466212827. \end{aligned}
Logo f(x_1)\approx 1,466212827.
  1. i=2: y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071067811865475.
    Cálculo por série (valores conhecidos ajudam: y^{2}=0,5, y^{3}=0,3535533905932738, y^{4}=0,25, y^{5}=0,1767766952966369):
\begin{aligned} e^{y}&\approx 1+y+\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{6}+\frac{y^{4}}{24}+\frac{y^{5}}{120}\\\ &\approx 1+0,7071067811865+0,25+0,0589255650990+0,0104166666667+0,0014731391275\\\ &\approx 2,028114981. \end{aligned}
Portanto f(x_2)\approx 2,028114981.
  1. i=3: y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)\approx 0,9238795325112867.
    Para esse caso usei também uma identidade para calcular potências com mais precisão: \sin^{3}\theta=\dfrac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}. Aplicando para \theta=\dfrac{3\pi}{8} e sabendo \sin(3\theta)=\sin\!\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right), cheguei em valores estáveis para y^{3} etc. Os termos (após cálculos análogos aos anteriores) ficam aproximadamente:
\begin{aligned} y&\approx 0,9238795325112867,\\\ y^{2}&\approx 0,8535533905932737,\\\ y^{3}&\approx 0,7885805074747375,\\\ y^{4}&\approx 0,728550057\\ (\text{aprox.}),\\\ y^{5}&\approx 0,673093\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}
Somando os termos da série:
\begin{aligned} e^{y}&\approx 1+y+\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{6}+\frac{y^{4}}{24}+\frac{y^{5}}{120}+\cdots\\\ &\approx 1+0,9238795325113+0,4267766952966+0,1314300845791+0,0303562523749+0,00560911+\cdots\\\ &\approx 2,519045\\ (\text{com precisão apropriada}). \end{aligned}ã
Portanto f(x_3)\approx 2,519045.
  1. i=4: y=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Então
f(x_4)=e^{1}=e\approx 2,718281828459045.
Observação de simetria: como mencionei antes,
f(x_5)=f(x_3)\approx 2,519045,\quad f(x_6)=f(x_2)\approx 2,028114981,\quad f(x_7)=f(x_1)\approx 1,466212827,\quad f(x_8)=f(x_0)=1.

Passo 5

Montar a soma exigida pela Regra de Simpson usando a simetria para simplificar:
  • A soma geral S dentro do colchete da fórmula de Simpson é
S=f(x_0)+f(x_8)+4\big(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)\big)+2\big(f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)\big).
Usando as igualdades por simetria ( f(x_5)=f(x_3), f(x_6)=f(x_2), f(x_7)=f(x_1)) obtemos uma forma mais compacta:
S=2 + 8\big(f(x_1)+f(x_3)\big) + 4 f(x_2) + 2 f(x_4).
Agora substituímos as aproximações numéricas que calculamos:
\begin{aligned} f(x_1)&\approx 1,466212827,\\\ f(x_2)&\approx 2,028114981,\\\ f(x_3)&\approx 2,519045,\\\ f(x_4)&\approx 2,718281828. \end{aligned}
Calculando cada parte:
\begin{aligned} f(x_1)+f(x_3)&\approx 1{,}466212827+2{,}519045=3{,}985257827,\\\\ 8\big(f(x_1)+f(x_3)\big)&\approx 31{,}882062616,\\\\ 4 f(x_2)&\approx 4\cdot 2{,}028114981=8{,}112459924,\\\\ 2 f(x_4)&\approx 2\cdot 2{,}718281828=5{,}436563656. \end{aligned}
Somando tudo com os 2 dos extremos:
S\approx 2 + 31{,}882062616 + 8{,}112459924 + 5{,}436563656 = 47{,}431086196.

Passo 6

Aplicar a fórmula final de Simpson:
  • Lembre que \dfrac{h}{3}=\dfrac{\pi}{24}.
  • A aproximação da integral é
\int_{0}^{\pi} e^{\operatorname{sen}(x)}\,dx \approx \frac{\pi}{24}\,S.
Substituindo S\approx 47{,}431086196:
\int_{0}^{\pi} e^{\operatorname{sen}(x)}\,dx \approx \frac{\pi}{24}\cdot 47{,}431086196 \approx 6{,}208715\\ (\text{aprox.}).
Um par de palavras finais pra te animar: deu trabalho, mas a técnica é direta — calcular alguns valores de f nos nós, aproveitar simetria e aplicar a fórmula de Simpson. Na prova, se você puder usar uma calculadora para avaliar e^{\sin x_i} tudo fica bem mais rápido; sem calculadora, vale usar as séries e identidades trigonométricas como fiz aqui.

Resposta

6{,}208715

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