(2.5 pontos) Deseja-se encontrar um polinômio interpolador P_{2}(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que passe exatamente pelos pontos na tabela abaixo:
x 0 1 2
f(x) 1 3 7
a) Construa o sistema lienar associado a este problema para encontrar os coeficientes a_{0}, a_{1} e a_{2}.
b) Resolva o sistema linear e escreva a equação final do polinômio P_{2}(x).
c) Utilize o polinômio para estimar o valor de f(1.5).

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá uma tabela com três pontos. Vou listar isso claramente:
  • Pedidos:
    a) Construir o sistema linear para encontrar a_{0},a_{1},a_{2}.
    b) Resolver esse sistema e escrever o polinômio P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
    c) Usar o polinômio para estimar f(1,5).
  • Dados (tirados da tabela do enunciado):
    • Para x=0, f(x)=1.
    • Para x=1, f(x)=3.
    • Para x=2, f(x)=7.
Essas três condições significam que o polinômio deve satisfazer
P_{2}(0)=1,\qquad P_{2}(1)=3,\qquad P_{2}(2)=7.

Passo 2

Agora vamos transformar as condições em equações em a_{0},a_{1},a_{2}. Substituir cada valor de x em P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
  • Para x=0:
a_{0}+a_{1}\cdot 0 + a_{2}\cdot 0^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad a_{0}=1.
  • Para x=1:
a_{0}+a_{1}\cdot 1 + a_{2}\cdot 1^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad a_{0}+a_{1}+a_{2}=3.
  • Para x=2:
a_{0}+a_{1}\cdot 2 + a_{2}\cdot 2^{2}=7 \quad\Rightarrow\quad a_{0}+2a_{1}+4a_{2}=7.
Podemos escrever o sistema na forma matricial (que é o sistema de Vandermonde para interpolação):
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt] a_{1}\\[4pt] a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\\[4pt] 7\end{pmatrix}.
Isso responde a parte (a): temos as três equações acima (ou a forma matricial).]

Passo 3

Agora vou resolver o sistema passo a passo. Já encontramos uma equação simples: [a_{0}=1). Substituímos isso nas outras duas.
A equação para x=1 torna-se:
1 + a_{1} + a_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad a_{1}+a_{2}=2.
A equação para x=2 torna-se:
1 + 2a_{1} + 4a_{2}=7 \quad\Rightarrow\quad 2a_{1}+4a_{2}=6.
Podemos simplificar a segunda dividindo por 2:
a_{1}+2a_{2}=3.
Agora temos o sistema simples em duas incógnitas:
\begin{cases} a_{1}+a_{2}=2,\\[4pt] a_{1}+2a_{2}=3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (eliminação):
(a_{1}+2a_{2})-(a_{1}+a_{2})=3-2 \quad\Rightarrow\quad a_{2}=1.
Substituindo a_{2}=1\] em \(a_{1}+a_{2}=2:
a_{1}+1=2 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=1.
Lembrando que a_{0}=1, obtemos:
a_{0}=1,\qquad a_{1}=1,\qquad a_{2}=1.]

Passo 4

Escrevendo o polinômio com esses coeficientes:
P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=1 + x + x^{2}.
Vamos fazer uma verificação rápida (opcional, mas útil na prova):
  • P_{2}(0)=1+0+0=1 (confere),
  • P_{2}(1)=1+1+1=3 (confere),
  • P_{2}(2)=1+2+4=7 (confere).
    Tudo bate com os pontos dados.

Passo 5

Agora estimar f(1,5) usando P_{2}. Substituir x=1,5 no polinômio e calcular passo a passo.
Calcular (1,5)^{2}:
(1,5)^{2}=1,5\times 1,5=2,25.
Somar os termos:
P_{2}(1,5)=1 + 1,5 + 2,25.
Somando em ordem:
1 + 1,5 = 2,5,
2,5 + 2,25 = 4,75.
Portanto a estimativa é P_{2}(1,5)=4,75.

Resposta

a) Sistema linear:
\begin{cases} a_{0}=1,\\[4pt] a_{0}+a_{1}+a_{2}=3,\\[4pt] a_{0}+2a_{1}+4a_{2}=7. \end{cases}
b) P_{2}(x)=1 + x + x^{2}
c) P_{2}(1,5)=4,75]

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