(2.5 pontos) Deseja-se encontrar um polinômio interpolador P_{2}(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que passe exatamente pelos pontos na tabela abaixo:
x
0
1
2
f(x)
1
3
7
a) Construa o sistema lienar associado a este problema para encontrar os coeficientes a_{0}, a_{1} e a_{2}.
b) Resolva o sistema linear e escreva a equação final do polinômio P_{2}(x).
c) Utilize o polinômio para estimar o valor de f(1.5).
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá uma tabela com três pontos. Vou listar isso claramente:
Pedidos:
a) Construir o sistema linear para encontrar a_{0},a_{1},a_{2}.
b) Resolver esse sistema e escrever o polinômio P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
c) Usar o polinômio para estimar f(1,5).
Dados (tirados da tabela do enunciado):
Para x=0, f(x)=1.
Para x=1, f(x)=3.
Para x=2, f(x)=7.
Essas três condições significam que o polinômio deve satisfazer
P_{2}(0)=1,\qquad P_{2}(1)=3,\qquad P_{2}(2)=7.
Passo 2
Agora vamos transformar as condições em equações em a_{0},a_{1},a_{2}. Substituir cada valor de x em P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.