Considere a função f(x)=X^{3}-5 x+3. Sabe-se que esta função possui uma raiz real positiva no intervalo [0,1]
Aplique o método de Newton Raphson para estimar a raiz. Realize exatamente 2 iterações, utilizando como aproximação inicial x_{0}=0.5. Apresente os valores de x_{1} e x_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é f(x)=x^{3}-5x+3.
  • Sabe-se que existe uma raiz real positiva em [0,1].
  • A aproximação inicial para o método de Newton–Raphson é x_{0}=0,5.
  • Pede-se aplicar exatamente duas iterações do método de Newton–Raphson e apresentar x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Apresentando o método (fórmula e o que cada letra significa).
  • O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações \{x_{n}\} pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Aqui f(x) é a função cuja raiz se quer achar; f'(x) é a derivada de f; x_{n} é a aproximação atual e x_{n+1} é a próxima aproximação obtida corrigindo x_{n} pela razão f(x_{n})/f'(x_{n}).
  • Intuição curta: subtrai-se de x_{n} a ordenada da reta tangente em x_{n} onde ela corta o eixo x.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) necessária para o método.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-5x+3\bigr)=3x^{2}-5.
Explicando: a derivada de x^{3} é 3x^{2}, a derivada de -5x é -5 e a constante some.

Passo 4

Primeira iteração: calcular f(x_{0}), f'(x_{0}) e x_{1} com x_{0}=0,5.
  • Calcular f(x_{0}):
f(0,5)=(0,5)^{3}-5\cdot0,5+3=0,125-2,5+3=0,625.
Observação: 0,5^{3}=0,125.
  • Calcular f'(x_{0}):
f'(0,5)=3(0,5)^{2}-5=3\cdot0,25-5=0,75-5=-4,25.
Observe que f'(0,5)=-\tfrac{17}{4} se preferir fração.
  • Aplicar a fórmula de Newton:
x_{1}=0,5-\frac{0,625}{-4,25}=0,5+\frac{0,625}{4,25}.
Converter para frações exatas facilita:
0,625=\tfrac{5}{8},\qquad 4,25=\tfrac{17}{4}.
Então
\frac{0,625}{4,25}=\frac{5/8}{17/4}=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{17}=\frac{20}{136}=\frac{5}{34}.
Portanto
x_{1}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{34}=\tfrac{17}{34}+\tfrac{5}{34}=\tfrac{22}{34}=\tfrac{11}{17}\approx0,6470588235.

Passo 5

Segunda iteração: calcular f(x_{1}), f'(x_{1}) com x_{1}=\tfrac{11}{17} e depois x_{2}.
  • Calcular x_{1}^{2} e x_{1}^{3}:
x_{1}^{2}=\left(\tfrac{11}{17}\right)^{2}=\tfrac{121}{289}, \qquad x_{1}^{3}=\left(\tfrac{11}{17}\right)^{3}=\tfrac{1331}{4913},
pois 289\cdot17=4913.
  • Calcular f(x_{1}):
f\!\left(\tfrac{11}{17}\right)=\tfrac{1331}{4913}-5\cdot\tfrac{11}{17}+3.
Colocando tudo sobre o denominador 4913 (note que 4913=17\cdot289):
-5\cdot\tfrac{11}{17}=-\tfrac{55}{17}=-\tfrac{55\cdot289}{4913}=-\tfrac{15895}{4913}, \qquad 3=\tfrac{3\cdot4913}{4913}=\tfrac{14739}{4913}.
Somando os numeradores:
1331-15895+14739=175,
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f\!\left(\tfrac{11}{17}\right)=\tfrac{175}{4913}\approx0,035623.
  • Calcular f'(x_{1}):
f'\!\left(\tfrac{11}{17}\right)=3\cdot\tfrac{121}{289}-5=\tfrac{363}{289}-5=\tfrac{363-1445}{289}=-\tfrac{1082}{289}\approx-3,7436.

Passo 6

Calcular x_{2} usando a fórmula de Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =\tfrac{11}{17}-\frac{\tfrac{175}{4913}}{-\tfrac{1082}{289}} =\tfrac{11}{17}+\frac{\tfrac{175}{4913}}{\tfrac{1082}{289}}.
Fazendo a divisão de frações:
\frac{\tfrac{175}{4913}}{\tfrac{1082}{289}}=\tfrac{175}{4913}\cdot\tfrac{289}{1082}.
Lembrando que 4913=17\cdot289, cancela-se 289:
\frac{175}{4913}\cdot\frac{289}{1082}=\frac{175}{17\cdot1082}=\frac{175}{18394}.
Assim
x_{2}=\tfrac{11}{17}+\tfrac{175}{18394}.
Colocando em um único numerador com denominador 18394:
\tfrac{11}{17}=\tfrac{11\cdot1082}{17\cdot1082}=\tfrac{11902}{18394},
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x_{2}=\tfrac{11902}{18394}+\tfrac{175}{18394}=\tfrac{12077}{18394}\approx0,6565729.

Passo 7

Resumo rápido e encorajamento: obtivemos duas aproximações sucessivas usando a fórmula de Newton e aritmética com frações exatas para evitar erros de arredondamento cedo — isso também é uma boa estratégia na prova. Mandou bem por pedir só duas iterações; com mais iterações a aproximação convergiria ainda mais para a raiz no intervalo [0,1].

Resposta

x_{1}=\dfrac{11}{17}\approx0,6470588235
x_{2}=\dfrac{12077}{18394}\approx0,6565729

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