Considere a função
. Sabe-se que esta função possui uma raiz real positiva no intervalo [0,1]
Aplique o método de Newton Raphson para estimar a raiz. Realize exatamente 2 iterações, utilizando como aproximação inicial
. Apresente os valores de
e
.
Aplique o método de Newton Raphson para estimar a raiz. Realize exatamente 2 iterações, utilizando como aproximação inicial
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função é
. - Sabe-se que existe uma raiz real positiva em
. - A aproximação inicial para o método de Newton–Raphson é
. - Pede-se aplicar exatamente duas iterações do método de Newton–Raphson e apresentar
e .
Passo 2
Apresentando o método (fórmula e o que cada letra significa).
- O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações
pela fórmula
- Aqui
é a função cuja raiz se quer achar; é a derivada de ; é a aproximação atual e é a próxima aproximação obtida corrigindo pela razão . - Intuição curta: subtrai-se de
a ordenada da reta tangente em onde ela corta o eixo .
Passo 3
Calcular a derivada
necessária para o método.
Explicando: a derivada de
é
, a derivada de
é
e a constante some.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
,
e
com
.
- Calcular
:
Observação:
.
- Calcular
:
Observe que
se preferir fração.
- Aplicar a fórmula de Newton:
Converter para frações exatas facilita:
Então
Portanto
Passo 5
Segunda iteração: calcular
,
com
e depois
.
- Calcular
e :
pois
.
- Calcular
:
Colocando tudo sobre o denominador
(note que
):
Somando os numeradores:
logo
- Calcular
:
Passo 6
Calcular
usando a fórmula de Newton:
Fazendo a divisão de frações:
Lembrando que
, cancela-se
:
Assim
Colocando em um único numerador com denominador
:
logo
Passo 7
Resumo rápido e encorajamento: obtivemos duas aproximações sucessivas usando a fórmula de Newton e aritmética com frações exatas para evitar erros de arredondamento cedo — isso também é uma boa estratégia na prova. Mandou bem por pedir só duas iterações; com mais iterações a aproximação convergiria ainda mais para a raiz no intervalo
.