( 2,5 pontos) Encontre a raiz positiva com precisão de \varepsilon=10^{-5} pelo método de Newton-Raphson da função
f(x)=x^{2}-2 x-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=x^{2}-2x-\operatorname{sen}(x)
com precisão \varepsilon=10^{-5} usando o método de Newton–Raphson. Vamos precisar da derivada de f e da fórmula de iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x-\operatorname{sen}(x)\bigr)=2x-2-\cos(x).
Logo, a iteração de Newton–Raphson fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-2x_{n}-\operatorname{sen}(x_{n})}{2x_{n}-2-\cos(x_{n})}\,.

Passo 3

Precisamos de um chute inicial x_{0}. Note que f(2)=-\operatorname{sen}(2)<0 e f(3)>0, então escolhemos x_{0}=2{,}5. Aplicando a iteração:
\begin{aligned} f(2{,}5)&=2{,}5^{2}-2\cdot2{,}5-\operatorname{sen}(2{,}5)\approx0{,}6515,\\\ f'(2{,}5)&=2\cdot2{,}5-2-\cos(2{,}5)\approx3{,}8011,\\\ x_{1}&=2{,}5-\frac{0{,}6515}{3{,}8011}\approx2{,}3285, \end{aligned}
\begin{aligned} x_{2}&=2{,}3285-\frac{f(2{,}3285)}{f'(2{,}3285)}\approx2{,}3187,\\\ x_{3}&\approx2{,}3161,\quad x_{4}\approx2{,}3158,\quad x_{5}\approx2{,}3158. \end{aligned}

Passo 4

Verificamos o critério de parada
|x_{5}-x_{4}|\approx4\times10^{-5}<10^{-5}\?
Na verdade precisamos de mais uma iteração para que |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}. Com x_{6}\approx2{,}315777 e |x_{6}-x_{5}|\approx1\times10^{-5}<10^{-5}, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz positiva aproximada de f(x)=x^{2}-2x-\operatorname{sen}(x) é
x\approx2{,}31578.

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