Aplique o método de decomposição LU (sem pivotação) à matriz A abaixo e marque a opção que representa as matrizes obtidas.
A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 4 & -1 & 10 & 8 \\\\ 6 & -3 & 12 & 11 \\\\ 0 & -2 & -5 & 10\end{array}\right]
a. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right]
b. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede decompor a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 4 & -1 & 10 & 8\\\\ 6 & -3 & 12 & 11\\\\ 0 & -2 & -5 & 10 \end{pmatrix}
no produto A = L\,U sem pivotação, em que L é triangular inferior com diagonal igual a 1 e U é triangular superior.

Passo 2

Começamos definindo
u_{11} = a_{11} = 2,
e os multiplicadores da primeira coluna:
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{u_{11}} = \frac{4}{2} = 2,\quad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{u_{11}} = \frac{6}{2} = 3,\quad \ell_{41} = \frac{a_{41}}{u_{11}} = \frac{0}{2} = 0.
Em seguida, os elementos da primeira linha de U vêm de u_{1j}=a_{1j}:
u_{12}=-1,\quad u_{13}=3,\quad u_{14}=5.

Passo 3

Para obter a segunda linha de U, calculamos
u_{22} = a_{22} - \ell_{21}\,u_{12} = -1 - 2\cdot(-1) = 1,
u_{23} = a_{23} - \ell_{21}\,u_{13} = 10 - 2\cdot3 = 4,
u_{24} = a_{24} - \ell_{21}\,u_{14} = 8 - 2\cdot5 = -2.
E o multiplicador
\ell_{32} = \frac{a_{32} - \ell_{31}\,u_{12}}{u_{22}} = \frac{-3 - 3\cdot(-1)}{1} = 0.

Passo 4

Usando \ell_{31}=3 e \ell_{32}=0, obtemos
u_{33} = a_{33} - \ell_{31}\,u_{13} - \ell_{32}\,u_{23} = 12 - 3\cdot3 - 0\cdot4 = 3,
u_{34} = a_{34} - \ell_{31}\,u_{14} - \ell_{32}\,u_{24} = 11 - 3\cdot5 - 0\cdot(-2) = -4.
Para a quarta linha, os multiplicadores são
\ell_{42} = \frac{a_{42} - \ell_{41}\,u_{12}}{u_{22}} = \frac{-2 - 0\cdot(-1)}{1} = -2,
\ell_{43} = \frac{a_{43} - \ell_{41}\,u_{13} - \ell_{42}\,u_{23}}{u_{33}} = \frac{-5 - 0\cdot3 - (-2)\cdot4}{3} = 1.

Passo 5

Por fim,
u_{44} = a_{44} - \ell_{41}\,u_{14} - \ell_{42}\,u_{24} - \ell_{43}\,u_{34} = 10 - 0\cdot5 - (-2)\cdot(-2) - 1\cdot(-4) = 10.
Reunindo,
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}.
Comparando com as opções dadas, a única que tem a estrutura correta de U (e, exceto por um sinal tipográfico na diagonal de L, coincide com nosso resultado) é a alternativa (a).

Resposta

(a)

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