Questão 4 - [ 2.50 ponto(s) ] - Resolva o sistema linear utilizando o método de Gauss-Seidel até a iteraçio k=2. Lembre-se de que, na iteração inicial ( k=0 ), os valores säo: x_{1}^{(0)}=0, x_{2}^{(0)}=0 e x_{3}^{(0)}=0.
\begin{aligned} 7 x_{1}-2 x_{2}+x_{3} & =5 \\\\ -2 x_{1}+8 x_{2}-x_{3} & =-3 \\\ x_{1}-x_{2}+6 x_{3} & =4 \end{aligned}
a) \cong(0.245,-0.468,0.443)
b) \cong(0.584,-0.164,0.541)
c) \cong(0.432,-0.234,0.508)
d) \cong(0.356,-0.367,0.236)
e) \cong(0.678,-0.209,0.826)

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
7x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5,\quad -2x_{1}+8x_{2}-x_{3}=-3,\quad x_{1}-x_{2}+6x_{3}=4
pelo método de Gauss–Seidel até a iteração k=2, com x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=x_{3}^{(0)}=0.

Passo 2

Isolamos cada variável em sua respectiva equação para obter a forma iterativa:
x_{1} = \frac{5 + 2x_{2} - x_{3}}{7},\quad x_{2} = \frac{-3 + 2x_{1} + x_{3}}{8},\quad x_{3} = \frac{4 - x_{1} + x_{2}}{6}.

Passo 3

Com x^{(0)}=(0,0,0) calculamos a primeira iteração:
x_{1}^{(1)} = \frac{5 + 2\cdot0 - 0}{7} = \frac{5}{7} \approx 0,7143,
x_{2}^{(1)} = \frac{-3 + 2\cdot0,7143 + 0}{8} = \frac{-1,5714}{8} \approx -0,1964,
x_{3}^{(1)} = \frac{4 - 0,7143 - 0,1964}{6} = \frac{3,0893}{6} \approx 0,5149.

Passo 4

Usando os valores de x^{(1)} obtemos a segunda iteração:
x_{1}^{(2)} = \frac{5 + 2\cdot(-0,1964) - 0,5149}{7} = \frac{4,0922}{7} \approx 0,5846,
x_{2}^{(2)} = \frac{-3 + 2\cdot0,5846 + 0,5149}{8} = \frac{-1,3159}{8} \approx -0,1645,
x_{3}^{(2)} = \frac{4 - 0,5846 - 0,1645}{6} = \frac{3,2509}{6} \approx 0,5418.

Passo 5

Comparando \bigl(x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)},x_{3}^{(2)}\bigr)\approx (0,5846,\,-0,1645,\,0,5418) com as alternativas, corresponde à opção (b).

Resposta

(b)

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