Aplique o método de decomposição LU (sem pivotação) à matriz A abaixo e marque a opção que representa as matrizes obtidas.
A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 4 & -1 & 10 & 8 \\\\ 6 & -3 & 12 & 11 \\\\ 0 & -2 & -5 & 10\end{array}\right]
a. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 20\end{array}\right]
b. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right]
c. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & -10\end{array}\right]
d. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right]
e. \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -2 & -1 & -1\end{array}\right], \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & -10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU sem pivotação da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 4 & -1 & 10 & 8\\\\ 6 & -3 & 12 & 11\\\\ 0 & -2 & -5 & 10 \end{pmatrix}
ou seja, encontrar L e U tais que A=LU, onde L é unitária (1 na diagonal) e U é triangular superior. Vamos usar eliminação de Gauss registrando os multiplicadores em L.

Passo 2

Eliminação pela primeira coluna com pivô a_{11}=2.
Multiplicadores:
\ell_{21} = \frac{4}{2}=2,\quad \ell_{31}=\frac{6}{2}=3,\quad \ell_{41}=\frac{0}{2}=0.
Atualizando as linhas de A:
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1 \;\Rightarrow\; (0,\;1,\;4,\;-2),
R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_1 \;\Rightarrow\; (0,\;0,\;3,\;-4),
R_4 \leftarrow R_4 - 0\cdot R_1 \;\Rightarrow\; (0,\;-2,\;-5,\;10).
Após isso, a forma quase triangular é
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & -2 & -5 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminação pela segunda coluna com pivô u_{22}=1.
Multiplicadores:
\ell_{32}=\frac{0}{1}=0,\quad \ell_{42}=\frac{-2}{1}=-2.
Atualizando:
R_3 \leftarrow R_3 - 0\cdot R_2 \;\Rightarrow\; (0,0,3,-4),
R_4 \leftarrow R_4 - (-2)\,R_2 \;\Rightarrow\; (0,0,3,6).
Fica
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminação pela terceira coluna com pivô u_{33}=3.
Multiplicador:
\ell_{43}=\frac{3}{3}=1.
Atualizando:
R_4 \leftarrow R_4 - 1\cdot R_3 \;\Rightarrow\; (0,0,0,10).
Obtemos
U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 5

Reunindo todos os multiplicadores em L (com 1 na diagonal):
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 5\\\\ 0 & 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}.
Comparando com as alternativas, corresponde à opção (d).

Resposta

(d)

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