(1,5 pontos) A equação
tem duas raízes reais, uma entre
e outra entre
. Para o cálculo da raiz pertencente ao intervalo
utiliza-se
e a equação de interação
que garante a convergência do método. Encontrar a raiz com um erro de
. (Apresentar memorial de cálculo completo para validar a resposta)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
que tem duas raízes reais, uma entre
e outra entre
. Nosso foco é encontrar a raiz que está no intervalo
usando o método de iteração. Para isso, vamos usar a função de iteração
e começar com um chute inicial de
. Vamos precisar entender como funciona o método de iteração e como calcular o erro para chegar perto da resposta com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de iteração de ponto fixo. Esse método envolve rearranjar a equação original para uma forma
, onde
é uma função que, se iterada a partir de um chute inicial, converge para a raiz da equação. No nosso caso, já temos
. A ideia é começar com um valor inicial, calcular
para obter o próximo valor, e repetir esse processo até que a diferença entre os valores consecutivos seja menor que o erro desejado.
Passo 3
Vamos começar a iterar! Nosso chute inicial é
. Aplicando a função de iteração:
Calculando isso:
Agora, calculamos o erro entre
e
:
Como
, precisamos continuar iterando.
Passo 4
Agora, usamos
como o novo chute:
Calculando o erro:
Ainda temos
, então seguimos para a próxima iteração.
Passo 5
Usando
:
Erro:
Como
, continuamos.
Passo 6
Com
:
Erro:
Ainda não atingimos a precisão desejada, pois
.
Passo 7
Agora, usando
:
Erro:
Estamos quase lá, mas
, então mais uma iteração é necessária.
Passo 8
Finalmente, com
:
Erro:
Agora,
, o que significa que atingimos a precisão desejada.
Resposta
A raiz da equação
no intervalo
é aproximadamente
com um erro menor que
.