(1,5 pontos) A equação ln x-x+2=0 tem duas raízes reais, uma entre [0,1] e outra entre [3,4]. Para o cálculo da raiz pertencente ao intervalo [3,4] utiliza-se x o=3,3 e a equação de interação x=ln x+2 que garante a convergência do método. Encontrar a raiz com um erro de e=0,001. (Apresentar memorial de cálculo completo para validar a resposta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação ln x - x + 2 = 0 que tem duas raízes reais, uma entre [0,1] e outra entre [3,4]. Nosso foco é encontrar a raiz que está no intervalo [3,4] usando o método de iteração. Para isso, vamos usar a função de iteração x = ln x + 2 e começar com um chute inicial de x0 = 3,3. Vamos precisar entender como funciona o método de iteração e como calcular o erro para chegar perto da resposta com uma precisão de e = 0,001.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de iteração de ponto fixo. Esse método envolve rearranjar a equação original para uma forma x = g(x), onde g(x) é uma função que, se iterada a partir de um chute inicial, converge para a raiz da equação. No nosso caso, já temos g(x) = ln x + 2. A ideia é começar com um valor inicial, calcular g(x) para obter o próximo valor, e repetir esse processo até que a diferença entre os valores consecutivos seja menor que o erro desejado.

Passo 3

Vamos começar a iterar! Nosso chute inicial é x0 = 3,3. Aplicando a função de iteração:
x1 = ln(3,3) + 2
Calculando isso:
x1 approx ln(3,3) + 2 approx 1,1939 + 2 = 3,1939
Agora, calculamos o erro entre x1 e x0:
e1 = |x1 - x0| = |3,1939 - 3,3| = 0,1061
Como 0,1061 > 0,001, precisamos continuar iterando.

Passo 4

Agora, usamos x1 = 3,1939 como o novo chute:
x2 = ln(3,1939) + 2 approx 1,1603 + 2 = 3,1603
Calculando o erro:
e2 = |x2 - x1| = |3,1603 - 3,1939| = 0,0336
Ainda temos 0,0336 > 0,001, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Usando x2 = 3,1603:
x3 = ln(3,1603) + 2 approx 1,1520 + 2 = 3,1520
Erro:
e3 = |x3 - x2| = |3,1520 - 3,1603| = 0,0083
Como 0,0083 > 0,001, continuamos.

Passo 6

Com x3 = 3,1520:
x4 = ln(3,1520) + 2 approx 1,1493 + 2 = 3,1493
Erro:
e4 = |x4 - x3| = |3,1493 - 3,1520| = 0,0027
Ainda não atingimos a precisão desejada, pois 0,0027 > 0,001.

Passo 7

Agora, usando x4 = 3,1493:
x5 = ln(3,1493) + 2 approx 1,1481 + 2 = 3,1481
Erro:
e5 = |x5 - x4| = |3,1481 - 3,1493| = 0,0012
Estamos quase lá, mas 0,0012 > 0,001, então mais uma iteração é necessária.

Passo 8

Finalmente, com x5 = 3,1481:
x6 = ln(3,1481) + 2 approx 1,1475 + 2 = 3,1475
Erro:
e6 = |x6 - x5| = |3,1475 - 3,1481| = 0,0006
Agora, 0,0006 < 0,001, o que significa que atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação ln x - x + 2 = 0 no intervalo [3,4] é aproximadamente x approx 3,1475 com um erro menor que 0,001.

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