(4,0 pontos) Uma equipe de engenharia está monitorando o nível de água de uma barragem durante um período de chuvas conforme a tabela abaixo. Pede-se, utilizando o polinômio interpolador:
Tempot (horas) 1 3 5 7 9
Nivel da água h(t)(metros) 12 20 32 48 68
a. (1,0 ponto) Forma de Newton de ordem 3 para estimar o nível da água após 6 horas.
b. (1,0 ponto) Uma estimativa do erro E_{3}(6).
c. (2,0 pontos) Forma de Lagrange de ordem 2 para estimar o nível da água após 4 horas.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números da tabela do enunciado).
Dados (t em horas, h(t) em metros):
  • t=1, h(1)=12.
  • t=3, h(3)=20.
  • t=5, h(5)=32.
  • t=7, h(7)=48.
  • t=9, h(9)=68.
O enunciado pede:
a. (1,0) Construir o polinômio interpolador na forma de Newton de ordem 3 e estimar h(6) (nível após 6 horas).
b. (1,0) Fornecer uma estimativa do erro E_{3}(6) da interpolação de ordem 3 no ponto t=6.
c. (2,0) Usar a forma de Lagrange de ordem 2 para estimar h(4) (nível após 4 horas).

Passo 2

Rápida explicação da ferramenta que usarei (sem pressa, devagarinho):
  • Forma de Newton (ordem 3): é um polinômio do tipo
P_{3}(t)=f[x_0] + f[x_0,x_1](t-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](t-x_0)(t-x_1) + f[x_0,x_1,x_2,x_3](t-x_0)(t-x_1)(t-x_2),
onde f[x_i,\dots,x_j] são as diferenças divididas. Cada diferença dividida é uma “coeficiente” que se calcula a partir dos valores da tabela; são análogas às derivadas discretas. Vou escolher pontos consecutivos para montar o polinômio de grau 3.
  • Erro da interpolação de grau 3 num ponto t: existe a fórmula do resto
E_{3}(t)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\prod_{i=0}^{3}(t-x_i)
para algum \xi no intervalo, ou, equivalente, pode-se usar a diferença dividida de ordem 4 (quando houver) multiplicada pelo produto \prod (t-x_i). Vou aproveitar os cinco dados disponíveis se necessário para estimar essa diferença de ordem 4.
  • Forma de Lagrange (ordem 2): para três pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) o polinômio é
P_{2}(t)=\sum_{i=0}^{2} y_i \ell_i(t), \qquad \ell_i(t)=\prod_{j\ne i}\frac{t-x_j}{x_i-x_j},
onde cada \ell_i é a base de Lagrange. Vou escolher três pontos próximos de t=4.

Passo 3

Construindo a tabela de diferenças divididas para os pontos (1,12),(3,20),(5,32),(7,48) — isto vai dar os coeficientes da forma de Newton de ordem 3 tomando x_0=1,x_1=3,x_2=5,x_3=7.
Primeiras diferenças divididas (fórmula \displaystyle f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}):
f[1,3]=\frac{20-12}{3-1}=\frac{8}{2}=4,
f[3,5]=\frac{32-20}{5-3}=\frac{12}{2}=6,
f[5,7]=\frac{48-32}{7-5}=\frac{16}{2}=8.
Segundas diferenças divididas (fórmula \displaystyle f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}):
f[1,3,5]=\frac{6-4}{5-1}=\frac{2}{4}=0,5,
f[3,5,7]=\frac{8-6}{7-3}=\frac{2}{4}=0,5.
Terceira diferença dividida:
f[1,3,5,7]=\frac{0,5-0,5}{7-1}=\frac{0}{6}=0.
Conclusão desta tabela: os coeficientes para a forma de Newton com x_0=1,x_1=3,x_2=5,x_3=7 são:
f[1]=12,\quad f[1,3]=4,\quad f[1,3,5]=0,5,\quad f[1,3,5,7]=0.

Passo 4

Montando o polinômio de Newton (ordem 3) com esses coeficientes:
P_{3}(t)=12 + 4\,(t-1) + 0,5\,(t-1)(t-3) + 0\cdot (t-1)(t-3)(t-5).
Note que o último coeficiente é 0, logo o polinômio efetivamente é de grau 2 (isso já é um sinal de que os dados seguem um polinômio quadrático exato).
Agora estimar em t=6. Calcule os fatores:
t-1 = 6-1 = 5,\qquad t-3 = 6-3 = 3.
Substituindo:
P_{3}(6)=12 + 4\cdot 5 + 0,5\cdot 5\cdot 3.
Calcule passo a passo:
4\cdot 5 = 20,\qquad 0,5\cdot 5\cdot 3 = 0,5\cdot 15 = 7,5.
Somando:
P_{3}(6)=12 + 20 + 7,5 = 39,5.
Portanto a estimativa pelo polinômio de Newton de ordem 3 (com os pontos escolhidos) é h(6)=39,5 metros.

Passo 5

Estimativa do erro E_{3}(6).
Explicando a ideia: o termo de resto pode ser escrito em termos da diferença dividida de ordem 4 usando os cinco pontos disponíveis (1,3,5,7,9). Vou calcular a diferença dividida de ordem 4 sobre os cinco pontos para ver se há termo de ordem 4.
Já tínhamos, para os pares sucessivos, as primeiras diferenças:
f[1,3]=4,\quad f[3,5]=6,\quad f[5,7]=8,\quad f[7,9]=10.
Segundas diferenças:
f[1,3,5]=0,5,\quad f[3,5,7]=0,5,\quad f[5,7,9]=0,5.
Terças diferenças:
f[1,3,5,7]=0,\quad f[3,5,7,9]=0.
Quarta diferença:
f[1,3,5,7,9]=\frac{0-0}{9-1}=0.
Portanto a diferença dividida de ordem 4 com os cinco pontos é 0. Pelo formulação do resto em diferenças divididas, o erro ao aproximar por um polinômio de grau 3 usando quatro nós é proporcional a essa diferença de ordem 4 vezes \prod (t-x_i). Como a diferença de ordem 4 é 0, obtemos exatamente
E_{3}(6)=0.
Interpretação intuitiva (sem linguagem pesada): os dados se ajustam perfeitamente a um polinômio de grau 2 (a terceira diferença dividida é zero), logo qualquer interpolador de grau maior ou igual a 2 construído a partir desses pontos dará valores exatos para qualquer t (quando calculado a partir desses dados). Assim, para t=6 a estimativa é exata dado os pontos fornecidos, e o erro numérico relativo à função que gerou os dados (assumindo que os valores fornecidos são exatos) é zero.

Passo 6

Agora a forma de Lagrange de ordem 2 para estimar h(4).
Escolho os três pontos mais próximos de t=4: t=3,5,7 com valores 20,32,48. (Escolher 1,3,5 ou 3,5,7 dá o mesmo resultado porque os dados seguem um quadrático.)
Definição das bases de Lagrange para x_0=3,x_1=5,x_2=7:
\ell_0(t)=\frac{(t-5)(t-7)}{(3-5)(3-7)}=\frac{(t-5)(t-7)}{(-2)(-4)}=\frac{(t-5)(t-7)}{8},
\ell_1(t)=\frac{(t-3)(t-7)}{(5-3)(5-7)}=\frac{(t-3)(t-7)}{2\cdot(-2)}=-\frac{(t-3)(t-7)}{4},
\ell_2(t)=\frac{(t-3)(t-5)}{(7-3)(7-5)}=\frac{(t-3)(t-5)}{4\cdot2}=\frac{(t-3)(t-5)}{8}.
Avaliar em t=4. Primeiro os fatores:
4-3=1,\quad 4-5=-1,\quad 4-7=-3.
Calcular cada \ell_i(4):
\ell_0(4)=\frac{(-1)(-3)}{8}=\frac{3}{8}=0{,}375,
\ell_1(4)=-\frac{(1)(-3)}{4}=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75,
\ell_2(4)=\frac{(1)(-1)}{8}=-\frac{1}{8}=-0{,}125.
Agora montar P_{2}(4):
P_{2}(4)=20\cdot \ell_0(4) + 32\cdot \ell_1(4) + 48\cdot \ell_2(4).
Calcule passo a passo:
20\cdot 0{,}375 = 7{,}5,
32\cdot 0{,}75 = 24,
48\cdot (-0{,}125) = -6.
Somando:
P_{2}(4)=7{,}5 + 24 - 6 = 25{,}5.
Portanto a estimativa por Lagrange de ordem 2 para h(4) é 25{,}5 metros.

Resposta

a. h(6)=39,5\\ \mathrm{m}
b. E_{3}(6)=0
c. h(4)=25,5\\ \mathrm{m}

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