(4,0 pontos) Uma equipe de engenharia está monitorando o nível de água de uma barragem durante um período de chuvas conforme a tabela abaixo. Pede-se, utilizando o polinômio interpolador:
Tempot (horas)
1
3
5
7
9
Nivel da água h(t)(metros)
12
20
32
48
68
a. (1,0 ponto) Forma de Newton de ordem 3 para estimar o nível da água após 6 horas.
b. (1,0 ponto) Uma estimativa do erro
.
c. (2,0 pontos) Forma de Lagrange de ordem 2 para estimar o nível da água após 4 horas.
| Tempot (horas) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| Nivel da água h(t)(metros) | 12 | 20 | 32 | 48 | 68 |
b. (1,0 ponto) Uma estimativa do erro
c. (2,0 pontos) Forma de Lagrange de ordem 2 para estimar o nível da água após 4 horas.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números da tabela do enunciado).
Dados (t em horas,
em metros):
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
O enunciado pede:
a. (1,0) Construir o polinômio interpolador na forma de Newton de ordem 3 e estimar (nível após 6 horas).
b. (1,0) Fornecer uma estimativa do erro da interpolação de ordem 3 no ponto
.
c. (2,0) Usar a forma de Lagrange de ordem 2 para estimar (nível após 4 horas).
a. (1,0) Construir o polinômio interpolador na forma de Newton de ordem 3 e estimar
b. (1,0) Fornecer uma estimativa do erro
c. (2,0) Usar a forma de Lagrange de ordem 2 para estimar
Passo 2
Rápida explicação da ferramenta que usarei (sem pressa, devagarinho):
- Forma de Newton (ordem
): é um polinômio do tipo
onde
são as diferenças divididas. Cada diferença dividida é uma “coeficiente” que se calcula a partir dos valores da tabela; são análogas às derivadas discretas. Vou escolher pontos consecutivos para montar o polinômio de grau 3.
- Erro da interpolação de grau
num ponto : existe a fórmula do resto
para algum
no intervalo, ou, equivalente, pode-se usar a diferença dividida de ordem
(quando houver) multiplicada pelo produto
. Vou aproveitar os cinco dados disponíveis se necessário para estimar essa diferença de ordem
.
- Forma de Lagrange (ordem
): para três pontos o polinômio é
onde cada
é a base de Lagrange. Vou escolher três pontos próximos de
.
Passo 3
Construindo a tabela de diferenças divididas para os pontos
— isto vai dar os coeficientes da forma de Newton de ordem 3 tomando
.
Primeiras diferenças divididas (fórmula
):
Segundas diferenças divididas (fórmula
):
Terceira diferença dividida:
Conclusão desta tabela: os coeficientes para a forma de Newton com
são:
Passo 4
Montando o polinômio de Newton (ordem 3) com esses coeficientes:
Note que o último coeficiente é
, logo o polinômio efetivamente é de grau
(isso já é um sinal de que os dados seguem um polinômio quadrático exato).
Agora estimar em
. Calcule os fatores:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto a estimativa pelo polinômio de Newton de ordem 3 (com os pontos escolhidos) é
metros.
Passo 5
Estimativa do erro
.
Explicando a ideia: o termo de resto pode ser escrito em termos da diferença dividida de ordem
usando os cinco pontos disponíveis
. Vou calcular a diferença dividida de ordem
sobre os cinco pontos para ver se há termo de ordem 4.
Já tínhamos, para os pares sucessivos, as primeiras diferenças:
Segundas diferenças:
Terças diferenças:
Quarta diferença:
Portanto a diferença dividida de ordem
com os cinco pontos é
. Pelo formulação do resto em diferenças divididas, o erro ao aproximar por um polinômio de grau
usando quatro nós é proporcional a essa diferença de ordem
vezes
. Como a diferença de ordem
é
, obtemos exatamente
Interpretação intuitiva (sem linguagem pesada): os dados se ajustam perfeitamente a um polinômio de grau
(a terceira diferença dividida é zero), logo qualquer interpolador de grau maior ou igual a
construído a partir desses pontos dará valores exatos para qualquer
(quando calculado a partir desses dados). Assim, para
a estimativa é exata dado os pontos fornecidos, e o erro numérico relativo à função que gerou os dados (assumindo que os valores fornecidos são exatos) é zero.
Passo 6
Agora a forma de Lagrange de ordem
para estimar
.
Escolho os três pontos mais próximos de
:
com valores
. (Escolher
ou
dá o mesmo resultado porque os dados seguem um quadrático.)
Definição das bases de Lagrange para
:
Avaliar em
. Primeiro os fatores:
Calcular cada
:
Agora montar
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto a estimativa por Lagrange de ordem
para
é
metros.
Resposta
a.
b.
c.
b.
c.