Utilizando o método da bissecção, determine a raiz da função f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5, considerando o intervalo [1:4]:
i a x b \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{f}(\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{b})
1
2
3
4
5

Passo 1

O enunciado pede que, utilizando o método da bissecção, se determine a raiz da função f(x)=x^{3}-2x^{2}-5 no intervalo [1:4] e que se preencha a tabela com i,\,a,\,x,\,b,\,f(x),\,f(a),\,f(b) para 5 iterações.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Função: f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
  • Intervalo inicial: a_{1}=1 e b_{1}=4.
  • É necessário executar 5 iterações e registrar, para cada iteração i, os valores de a, x (ponto médio), b, f(x), f(a) e f(b).

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo didático e sem pular etapas). A bissecção funciona assim:
  • Em cada iteração toma-se o ponto médio do intervalo atual. O ponto médio é dado por
x=\frac{a+b}{2}.
  • Calcula-se f(x). Se f(x)=0 já encontramos a raiz exata. Caso contrário, usamos os sinais de f para reduzir o intervalo:
    • Se f(a)\cdot f(x)<0 então a raiz está no subintervalo [a,x]; fazemos b\leftarrow x.
    • Se f(x)\cdot f(b)<0 então a raiz está no subintervalo [x,b]; fazemos a\leftarrow x.
    • Se f(a) e f(x) têm o mesmo sinal, descartamos o lado esquerdo; se f(x) e f(b) têm o mesmo sinal, descartamos o lado direito.
  • Repetimos até atingir o número de iterações desejado ou a precisão requerida.
Vou aplicar exatamente esse procedimento, mostrando as contas detalhadas (cálculo de potências e subtrações) em cada iteração.

Passo 3

Iteração i=1.
  • Intervalo inicial: a=1, b=4.
  • Calcular x=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1+4}{2}=2,5.
  • Avaliar f(a) e f(b): f(1)=1^{3}-2\cdot1^{2}-5=1-2-5=-6.
f(4)=4^{3}-2\cdot4^{2}-5=64-32-5=27.
  • Avaliar f(x) em x=2,5: 2,5^{2}=6,25,\qquad 2,5^{3}=15,625,
f(2,5)=15,625-2\cdot6,25-5=15,625-12,5-5=-1,875.
  • Sinais: f(a)=-6 (negativo), f(x)=-1,875 (negativo), f(b)=27 (positivo). Como f(x) tem o mesmo sinal que f(a), a raiz está no subintervalo [x,b]=[2,5,\,4]. Atualização do intervalo para a próxima iteração: a\leftarrow2,5, b\leftarrow4.
Registro da linha 1 da tabela:
  • i=1: a=1, x=2,5, b=4, f(x)=-1,875, f(a)=-6, f(b)=27.

Passo 4

Iteração i=2.
  • Intervalo atual: a=2,5, b=4.
  • Calcular x=\dfrac{2,5+4}{2}=3,25.
  • Avaliar f(x) em x=3,25: 3,25^{2}=10,5625,\qquad 3,25^{3}=34,328125,
f(3,25)=34,328125-2\cdot10,5625-5=34,328125-21,125-5=8,203125.
  • Já temos f(a)=-1,875 (da iteração anterior) e f(b)=27.
  • Sinais: f(a)=-1,875 (negativo), f(x)=8,203125 (positivo). Como f(a)\cdot f(x)<0, a raiz está em [a,x]=[2,5,\,3,25]. Atualização: a\leftarrow2,5, b\leftarrow3,25.
Registro da linha 2 da tabela:
  • i=2: a=2,5, x=3,25, b=4, f(x)=8,203125, f(a)=-1,875, f(b)=27.

Passo 5

Iteração i=3.
  • Intervalo atual: a=2,5, b=3,25.
  • Calcular x=\dfrac{2,5+3,25}{2}=2,875.
  • Avaliar f(x) em x=2,875: 2,875^{2}=8,265625,\qquad 2,875^{3}=23,763671875,
f(2,875)=23,763671875-2\cdot8,265625-5=23,763671875-16,53125-5=2,232421875.
  • Temos f(a)=-1,875 e f(b)=8,203125.
  • Sinais: f(a)=-1,875 (negativo), f(x)=2,232421875 (positivo). Como f(a)\cdot f(x)<0, a raiz está em [a,x]=[2,5,\,2,875]. Atualização: a\leftarrow2,5, b\leftarrow2,875.
Registro da linha 3 da tabela:
  • i=3: a=2,5, x=2,875, b=3,25, f(x)=2,232421875, f(a)=-1,875, f(b)=8,203125.

Passo 6

Iteração i=4.
  • Intervalo atual: a=2,5, b=2,875.
  • Calcular x=\dfrac{2,5+2,875}{2}=2,6875.
  • Avaliar f(x) em x=2,6875: 2,6875^{2}=7,22265625,\qquad 2,6875^{3}=19,410888671875,
f(2,6875)=19,410888671875-2\cdot7,22265625-5=19,410888671875-14,4453125-5=-0,034423828125.
  • Temos f(a)=-1,875 e f(b)=2,232421875.
  • Sinais: f(a)=-1,875 (negativo), f(x)=-0,034423828125 (negativo). Como f(x) tem o mesmo sinal que f(a), a raiz está em [x,b]=[2,6875,\,2,875]. Atualização: a\leftarrow2,6875, b\leftarrow2,875.
Registro da linha 4 da tabela:
  • i=4: a=2,5, x=2,6875, b=2,875, f(x)=-0,034423828125, f(a)=-1,875, f(b)=2,232421875.

Passo 7

Iteração i=5.
  • Intervalo atual: a=2,6875, b=2,875.
  • Calcular x=\dfrac{2,6875+2,875}{2}=2,78125.
  • Avaliar f(x) em x=2,78125. Usando frações binárias ou cálculo direto: 2,78125^{2}=7,7353515625,\qquad 2,78125^{3}=21,513946533203125,
f(2,78125)=21,513946533203125-2\cdot7,7353515625-5=21,513946533203125-15,470703125-5=1,043243408203125.
  • Temos f(a)=-0,034423828125 e f(b)=2,232421875.
  • Sinais: f(a)=-0,034423828125 (negativo), f(x)=1,043243408203125 (positivo). Como f(a)\cdot f(x)<0, a raiz está em [a,x]=[2,6875,\,2,78125]. Atualização (se fosse continuar): a\leftarrow2,6875, b\leftarrow2,78125.
Registro da linha 5 da tabela:
  • i=5: a=2,6875, x=2,78125, b=2,875, f(x)=1,043243408203125, f(a)=-0,034423828125, f(b)=2,232421875.

Resposta

x\approx2,78125

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