Utilizando o método da bissecção, determine a raiz da função
, considerando o intervalo [1:4]:
i
a
x
b
1
2
3
4
5
| i | a | x | b |
|
|
|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 |
Passo 1
O enunciado pede que, utilizando o método da bissecção, se determine a raiz da função
no intervalo
e que se preencha a tabela com
para 5 iterações.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- Função:
. - Intervalo inicial:
e . - É necessário executar 5 iterações e registrar, para cada iteração
, os valores de , (ponto médio), , , e .
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo didático e sem pular etapas). A bissecção funciona assim:
- Em cada iteração toma-se o ponto médio do intervalo atual. O ponto médio é dado por
- Calcula-se
. Se já encontramos a raiz exata. Caso contrário, usamos os sinais de para reduzir o intervalo: - Se
então a raiz está no subintervalo ; fazemos . - Se
então a raiz está no subintervalo ; fazemos . - Se
e têm o mesmo sinal, descartamos o lado esquerdo; se e têm o mesmo sinal, descartamos o lado direito.
- Se
- Repetimos até atingir o número de iterações desejado ou a precisão requerida.
Vou aplicar exatamente esse procedimento, mostrando as contas detalhadas (cálculo de potências e subtrações) em cada iteração.
Passo 3
Iteração
.
- Intervalo inicial:
, . - Calcular
. - Avaliar
e :
- Avaliar
em :
- Sinais:
(negativo), (negativo), (positivo). Como tem o mesmo sinal que , a raiz está no subintervalo . Atualização do intervalo para a próxima iteração: , .
Registro da linha 1 da tabela:
-
: , , , , , .
Passo 4
Iteração
.
- Intervalo atual:
, . - Calcular
. - Avaliar
em :
- Já temos
(da iteração anterior) e . - Sinais:
(negativo), (positivo). Como , a raiz está em . Atualização: , .
Registro da linha 2 da tabela:
-
: , , , , , .
Passo 5
Iteração
.
- Intervalo atual:
, . - Calcular
. - Avaliar
em :
- Temos
e . - Sinais:
(negativo), (positivo). Como , a raiz está em . Atualização: , .
Registro da linha 3 da tabela:
-
: , , , , , .
Passo 6
Iteração
.
- Intervalo atual:
, . - Calcular
. - Avaliar
em :
- Temos
e . - Sinais:
(negativo), (negativo). Como tem o mesmo sinal que , a raiz está em . Atualização: , .
Registro da linha 4 da tabela:
-
: , , , , , .
Passo 7
Iteração
.
- Intervalo atual:
, . - Calcular
. - Avaliar
em . Usando frações binárias ou cálculo direto:
- Temos
e . - Sinais:
(negativo), (positivo). Como , a raiz está em . Atualização (se fosse continuar): , .
Registro da linha 5 da tabela:
-
: , , , , , .