(1 pontos) Deseja-se calcular a integral da função f(x)=\frac{1}{x} no intervalo [1,3].
I=\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x
a) Aproxime o valor da integral usando o Método dos trapézios Repetidos com n=4.
b) O valor de \ln (3) \approx 1.0986. O seu resultado foi uma superestimativa ou uma subestimativa? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x}\,dx
pelo método dos trapézios repetidos com n=4, e depois comparar essa aproximação com o valor exato \ln(3)\approx1,0986, decidindo se é superestimação ou subestimação.

Passo 2

O comprimento do intervalo é b-a = 3-1 = 2, e como n=4 tomamos
h = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{4} = 0,5.
Os nós são
x_i = 1 + i\,h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é
x_0=1,\;x_1=1{,}5,\;x_2=2,\;x_3=2{,}5,\;x_4=3.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=1/x_i:
f(x_0)=1,\quad f(x_1)=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667,\quad f(x_2)=0{,}5,\quad f(x_3)=0{,}4,\quad f(x_4)=\tfrac{1}{3}\approx0{,}3333.

Passo 4

A fórmula composta do trapézio é
T_n = \frac{h}{2}\bigl(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{3}f(x_i)+f(x_4)\bigr).
Substituindo:
T_4 = \frac{0,5}{2}\Bigl(1 + 2(0{,}6667+0{,}5+0{,}4)+0{,}3333\Bigr) =0,25\bigl(1+2\cdot1{,}5667+0{,}3333\bigr) =0,25\cdot4{,}4667 \approx1{,}1167.

Passo 5

Para justificar se é superestimação ou subestimação, note que
f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\bigl(x^{-1}\bigr) = \frac{2}{x^3} > 0\quad\text{para }x\in[1,3].
Como f é convexa em [1,3], o método dos trapézios produz uma superestimação, e vemos de fato
T_4\approx1{,}1167 > \ln(3)\approx1{,}0986.

Resposta

a) \displaystyle I\approx1{,}1167.
b) É uma superestimação, pois f''(x)=2/x^3>0 em [1,3] e, para funções convexas, o trapézio sobreestima a integral.

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