A população (p) de uma pequena comunidade na periferia de uma cidade cresce rapidamente durante um período de 20 anos:
t 0 5 10 15 20
p 100 200 450 950 2000
Como um engenheiro trabalhando para um companhia de serviços públicos, prever qual será a população daqui a 5 anos para antecipar a demanda por energia elétrica. Use um modelo exponencial para fazer essa previsão. (p approx a e^b x)

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá uma tabela de tempo p approx a,e^b x em anos (0, 5, 10, 15, 20) e a população correspondente (100, 200, 450, 950, 2000). O assunto é crescimento exponencial: a gente assume que
e precisa achar os parâmetros e pra, enfim, prever a população em (daqui a 5 anos).

Passo 2

Pra descobrir p = a,e^b x Longrightarrow ln p = ln(a,e^b x) = ln a + b,x e 100 = a,e^bcdot0 ;Rightarrow; 100 = acdot1 ;Rightarrow; a = 100 , transformamos a equação em linear:
Isto vira uma reta se a gente chamar , e .
Vamos usar dois pontos fáceis: e .
No ponto , :

Passo 3

Agora, em 2000 = 100,e^20b , b = ln 2020 :
p(x) = 100,e^l(ln 2020r)x
  1. Divide por 100:
  2. Aplica ln: (porque ).
  3. Logo
Até aqui nosso modelo é

Passo 4

Só falta calcular em p(25) = 100,e^l(ln 2020r),25 :
p(25)approx100,e^3,75approx100cdot42,3approx4230
Chutando valores:
, então e o expoente fica .

Resposta

A previsão de população para daqui a 5 anos é aproximadamente habitantes.

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