Você mediu a queda de tensão V através de um resistor para diversos valores diferentes da corrente i. Os resultados são:
c|ccccc i & 0,25 & 0,75 & 1,25 & 1,5 & 2,0 hline V & -0,45 & -0,6 & 0,7 & 1,88 & 6,0
Use na forma de Newton a interpolação polinomial de grau 1, 2 e 3 para determinar uma estimativa da queda de tensão para i=1,15. Dê uma estimativa para o erro para cada valor encontrado. Comente seus resultados.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente mediu a tensão V em função da corrente i em cinco pontos:
i = 0,25, 0,75, 1,25, 1,50, 2,00
V = −0,45, −0,60, 0,70, 1,88, 6,00
E pede pra gente usar a forma de Newton da interpolação polinomial de grau 1, 2 e 3 pra estimar V em i = 1,15, além de estimar o erro de cada aproximação.
O que vamos precisar?
  1. Diferenças divididas (ordem 1, 2, 3 e 4).
  2. Montar o polinômio de Newton de grau 1, 2 e 3 (cada um usa os primeiros 2, 3 e 4 pontos).
  3. Avaliar o polinômio em x=1,15.
  4. Calcular o termo de resto (erro) usando a próxima diferença dividida.

Passo 2

Grau 1 (usa os pontos f[x0,x1]=V1 - V0x1 - x0 =-0,60 - (-0,45)0,75 - 0,25 =-0,150,50=-0,30 , P1(x) =V0 ;+; f[x0,x1],(x - x0) =-0,45 ;-0,30,(x - 0,25) ):
  1. Diferença dividida de 1ª ordem
P1(1,15) =-0,45 -0,30,(1,15-0,25) =-0,45 -0,30cdot0,90 =-0,45 -0,27 =-0,72
  1. Polinômio de Newton grau 1
R1(x) =f[x0,x1,x2],(x - x0)(x - x1),
  1. Avaliando em f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =2,60 - (-0,30)1,25-0,25 =2,901,00 =2,90 :
R1(1,15) =2,90,(1,15-0,25)(1,15-0,75) =2,90cdot0,90cdot0,40 approx1,044
  1. Erro (termo de resto de Newton de grau 1)
boxedP1(1,15)=-0,72, |R1|approx1,044
onde
Logo,
Então

Passo 3

Grau 2 (usa f[x0,x1]=-0,30, f[x1,x2]=0,70-(-0,60)1,25-0,75=2,60 ):
  1. Já temos
f[x0,x1,x2] =2,90(o mesmo que usamos para R1)
  1. Diferença dividida 2ª ordem
P2(x) =V0 +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)
  1. Polinômio de Newton grau 2
P2(1,15) =-0,45 -0,30cdot(0,90) +2,90cdot(0,90),(0,40) =-0,45 -0,27 +1,044 =0,324
  1. Avaliando em R2(x) =f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2), :
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0 =2,8266667-2,901,50-0,25 approx-0,0586667
  1. Erro (termo de grau 2)
R2(1,15) approx-0,058667,(0,90)(0,40)(-0,10) approx0,00211
onde
boxedP2(1,15)=0,324, |R2|approx0,00211
Então
Logo

Passo 4

Grau 3 (usa f[x0,x1]=-0,30,; f[x0,x1,x2]=2,90,; f[x0,x1,x2,x3]approx-0,058667 ):
  1. Temos já
P3(x) =V0 +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
  1. Polinômio de grau 3
P3(1,15) &=-0,45 -0,30cdot0,90 +2,90cdot0,90cdot0,40 -0,058667cdot0,90cdot0,40cdot(-0,10) &=-0,45 -0,27 +1,044 +0,00211 approx0,33611
  1. Avaliando em R3(x) =f[x0,x1,x2,x3,x4],(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3), :
f[x0,dots,x4]approx0,887429,
  1. Erro (termo de grau 3)
R3(1,15) approx0,887429,(0,90)(0,40)(-0,10)(-0,35) approx0,01118
com
boxedP3(1,15)approx0,33611, |R3|approx0,01118
logo
Então

Resposta

Interpolando em temos:
• Grau 1: , erro
• Grau 2: , erro
• Grau 3: , erro
Comentando rapidinho: o polinômio de grau 1 fica bem ruim (erro grande), o de grau 2 já acerta na mosca (erro minúsculo) e o de grau 3 não melhora muito em relação ao grau 2 (até aumenta ligeiramente o erro estimado). Isso mostra que às vezes o grau 2 já é suficiente e seguir aumentando o grau nem sempre vale o esforço.

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