Você mediu a queda de tensão V através de um resistor para diversos valores diferentes da corrente
. Os resultados são:
Use na forma de Newton a interpolação polinomial de grau 1, 2 e 3 para determinar uma estimativa da queda de tensão para
. Dê uma estimativa para o erro para cada valor encontrado. Comente seus resultados.
Passo 1
Beleza, o problema diz que a gente mediu a tensão V em função da corrente i em cinco pontos:
i = 0,25, 0,75, 1,25, 1,50, 2,00
V = −0,45, −0,60, 0,70, 1,88, 6,00
V = −0,45, −0,60, 0,70, 1,88, 6,00
E pede pra gente usar a forma de Newton da interpolação polinomial de grau 1, 2 e 3 pra estimar V em i = 1,15, além de estimar o erro de cada aproximação.
O que vamos precisar?
O que vamos precisar?
- Diferenças divididas (ordem 1, 2, 3 e 4).
- Montar o polinômio de Newton de grau 1, 2 e 3 (cada um usa os primeiros 2, 3 e 4 pontos).
- Avaliar o polinômio em x=1,15.
- Calcular o termo de resto (erro) usando a próxima diferença dividida.
Passo 2
Grau 1 (usa os pontos
,
):
- Diferença dividida de 1ª ordem
- Polinômio de Newton grau 1
- Avaliando em
:
- Erro (termo de resto de Newton de grau 1)
onde
Logo,
Então
Passo 3
Grau 2 (usa
):
- Já temos
- Diferença dividida 2ª ordem
- Polinômio de Newton grau 2
- Avaliando em
:
- Erro (termo de grau 2)
onde
Então
Logo
Passo 4
Grau 3 (usa
):
- Temos já
- Polinômio de grau 3
- Avaliando em
:
- Erro (termo de grau 3)
com
logo
Então
Resposta
Interpolando em
temos:
• Grau 1: , erro
• Grau 2: , erro
• Grau 3: , erro
• Grau 1:
• Grau 2:
• Grau 3:
Comentando rapidinho: o polinômio de grau 1 fica bem ruim (erro grande), o de grau 2 já acerta na mosca (erro minúsculo) e o de grau 3 não melhora muito em relação ao grau 2 (até aumenta ligeiramente o erro estimado). Isso mostra que às vezes o grau 2 já é suficiente e seguir aumentando o grau nem sempre vale o esforço.