A posição de um avião de caça em uma pista do porta-aviões foi cronometrada durante a aterrissagem, dados na tabela a seguir. onde x é a distância a partir da extremidade do porta-aviões. Estime (a) a velocidade ( d x / d t ) e (b) a aceleração (d v / d t) usando derivação numérica.
t s 0 0,52 1,04 1,75 2,37 3,25 3,83
x, m 153 185 208 249 261 271 273

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão dá uma tabela de tempo t e posição x de um caça pousando e pede para estimar (a) a velocidade v = dfracdxdt e (b) a aceleração a = dfracdvdt usando derivação numérica.
Conteúdo: diferenças finitas (aproximar derivada por quociente de diferenças). Vamos precisar da fórmula de diferença central para os pontos “do meio” e das fórmulas de diferença à frente (forward) e atrás (backward) nos extremos, além de calcular passo a passo para cada ponto.

Passo 2

Calcular as velocidades aproximadas em cada instante.
  1. Teoria: a derivada numérica central é dada por
vi = xi+1 - xi-1ti+1 - ti-1,,
e nos extremos:
v0 = x1 - x0t1 - t0, vN = xN - xN-1tN - tN-1
  1. Vamos usar os dados:
    t = [0, 0{,}52, 1{,}04, 1{,}75, 2{,}37, 3{,}25, 3{,}83] (s)
    x = [153, 185, 208, 249, 261, 271, 273] (m)
  2. Cálculos (valores em m/s, aproximados):
  • Em t0=0: v0=185-1530,52-0=61,54
  • Em t1=0,52: v1=208-1531,04-0=52,89
  • Em t2=1,04: v2=249-1851,75-0,52=52,03
  • Em t3=1,75: v3=261-2082,37-1,04=39,85
  • Em t4=2,37: v4=271-2493,25-1,75=14,67
  • Em t5=3,25: v5=273-2613,83-2,37=8,22
  • Em t6=3,83: v6=273-2713,83-3,25=3,45

Passo 3

Calcular as acelerações aproximadas em cada instante usando as velocidades.
  1. Teoria: mesma ideia de diferenças finitas. Para o ponto i no meio:
ai = vi+1 - vi-1ti+1 - ti-1,,
e nos extremos:
a0 = v1 - v0t1 - t0, aN = vN - vN-1tN - tN-1
  1. Valores (m/s², aproximados):
  • Em t0=0: a0=52,89-61,540,52-0=-16,64
  • Em t1=0,52: a1=52,03-61,541,04-0=-9,14
  • Em t2=1,04: a2=39,85-52,891,75-0,52=-10,60
  • Em t3=1,75: a3=14,67-52,032,37-1,04=-28,09
  • Em t4=2,37: a4=8,22-39,853,25-1,75=-21,08
  • Em t5=3,25: a5=3,45-14,673,83-2,37=-7,69
  • Em t6=3,83: a6=3,45-8,223,83-3,25=-8,23

Resposta

Tabela final de velocidades e acelerações (aprox.):
t (s) | v (m/s) | a (m/s²)
0,00 | 61,54 | –16,64
0,52 | 52,89 | –9,14
1,04 | 52,03 | –10,60
1,75 | 39,85 | –28,09
2,37 | 14,67 | –21,08
3,25 | 8,22 | –7,69
3,83 | 3,45 | –8,23

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