integral0^pi / 2(8+4 cos x) d x
c) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio, com n=2 e 4.

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é a aproximação da integral
integral0^pi/2(8+4cos x),dx
usando a regra do trapézio composta com e .
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio).
O que vamos precisar:
  • Dividir o intervalo em subintervalos iguais.
  • Calcular o passo .
  • Avaliar nos nós.
  • Aplicar a fórmula do trapézio composta.

Passo 2

Teoria da regra do trapézio composta:
Seja h=b-an, xi=a+i,h, i=0,1,dots,n, o intervalo e Tn = hl[tfrac12f(x0)+f(x1)+f(x2)+cdots+f(xn-1)+tfrac12f(xn)r] subintervalos, então
e a aproximação é
A ideia é “aproximar” cada pedacinho da curva por um trapézio.

Passo 3

Aplicando com T2 = pi4l[tfrac12cdot12 + (8+2raiz2) + tfrac12cdot8r] = pi4l[6 + 8+2raiz2 +4r] = pi4,(18+2raiz2) = pi2,(9+raiz2) :
  • , .
  • Nós: , , .
  • Avaliando :
    ,
    ,
    .
  • Então

Passo 4

Agora com T4 = pi8l[tfrac12cdot12 + (8+2raiz2+raiz2) + (8+2raiz2) + (8+2raiz2-raiz2) + tfrac12cdot8r] :
  • = pi8l[6 + (8+2raiz2+raiz2) + (8+2raiz2) + (8+2raiz2-raiz2) +4r] = pi8l[34 + 2l(raiz2+raiz2+raiz2+raiz2-raiz2r)r] .
  • Nós: , .
  • Avaliações:
    ,
    ,
    ,
    ,
    .
  • Somando na fórmula:

Resposta

Aproximações pela regra do trapézio composta:
  • Para T2 = pi2,(9+raiz2) :
T4 = pi8l[34 + 2l(raiz2+raiz2+raiz2+raiz2-raiz2r)r]
  • Para :

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