Os primeiros três termos diferentes de zero na série de Maclaurin para a função arco-tangente são x (1 / 3) x^3+(1 / 5) x^5. Calcule o erro absoluto e o erro relativo nas seguintes aproximações de pi usando o polinômio em vez do arco-tangente:
a.
b.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin da função arctan, que são
arctan(x) approx x - x^33 + x^55,
e substituir essa aproximação na fórmula que dá π em duas versões:
a)
b) .
A gente vai calcular, em cada caso, o valor aproximado de π, depois o erro absoluto

e o erro relativo
.

Passo 2

Primeiro, lembra a teoria: a série de Maclaurin (que é só o Taylor em torno de 0) pra arctan(x)=sumn=0^infty (-1)^nx^2n+12n+1 é
P5(x)=x - x^33 + x^55
Se cortarmos após o , sobram só os termos com , ou seja

Passo 3

  1. Calcula P5l(tfrac12r)=tfrac12-(1/2)^33+(1/2)^55 =0.5 - 0.1253 + 0.031255 approx 0.4645833 :
P5l(tfrac13r)=tfrac13-(1/3)^33+(1/3)^55 approx 0.3333333 - 0.0123457 + 0.0008230 approx 0.3218107
  1. Calcula pia approx 4l(P5(tfrac12)+P5(tfrac13)r) =4,(0.4645833+0.3218107)approx 3.1455761 :
erro absolutoa =l|pia-pir| approx|3.1455761-3.1415927| approx0.0039835,
  1. Então a aproximação de π é
erro relativoa =0.00398353.1415927approx1.27times10^-3;(0,127%)
  1. Erros:

Passo 4

  1. P5(0.2)=0.2 - 0.0083 + 0.000321 approx0.1976533 :
P5l(tfrac1239r)approx 0.0041841004 - 2.44times10^-8 + 2.6times10^-13 approx0.0041840760
  1. pib approx 16cdot0.1976533 + 4cdot0.004184076 approx3.1791896 :
erro absolutob =|3.1791896-3.1415927|approx0.0375970,
  1. Aproximação:
erro relativob =0.03759703.1415927approx1.20times10^-2;(1,20%)
  1. Erros:

Resposta

a) π ≈ 3.1455761, erro absoluto ≈ 0.0039835, erro relativo ≈ 1.27×10⁻³
b) π ≈ 3.1791896, erro absoluto ≈ 0.0375970, erro relativo ≈ 1.20×10⁻²

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