Seja
c. U
f(x)=x cos x-sen xx-sen x
a. Determine lim x 0 f(x).
b. Use a aritmética de arredondamento, com quatro algarismos, para calcular f(0,1).
c. Substitua cada função trigonométrica por seu polinômio de Maclaurin de grau três e repita o item (b). d. O valor real é f(0,1)=-1,99899998. Determine o erro relativo para os valores obtidos nos itens (b) e ©.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado pede. A função é
Temos quatro itens:
a) descobrir f(x)=xcos x - sen xx - sen x ,
b) calcular usando aritmética de arredondamento com 4 algarismos,
c) repetir (b) mas trocando e pelos polinômios de Maclaurin de grau 3,
d) dado o valor “exato” , achar os erros relativos dos resultados de (b) e ©.
Para isso vamos usar:
  • Série de Taylor/Maclaurin (para o limite e o polinômio),
  • Regras de arredondamento a 4 dígitos significativos a cada operação,
  • Definição de erro relativo .

Passo 2

Item (a): xcos x - sen x = xl(1 - x^22r) - l(x - x^36r) = x - x^32 - x + x^36 = -x^33 + O(x^5)
  1. No zero dá “ x - sen x = x - l(x - x^36r) = x^36 + O(x^5) ” então dá pra usar Taylor (ou L’Hôpital).
  2. Expande e -tfracx^33tfracx^36 = -2 até ordem 3:
    ,
    .
  3. Numerador:
  4. Denominador:
  5. Divide:
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Passo 3

Item (b): 0,1cdot0,9950 = 0,09950(já 4 digitos) com aritmética de 4 algarismos
  1. 0,09950 - 0,09983 = -0,00033(arredonda a 4 dig: -0,000330) . Calcula 0,1 - 0,09983 = 0,00017(arredonda a 4 dig: 0,000170) e e já arredonda a 4 dígitos significativos:
    -0,0003300,000170 = -1,941176ldots to arredonda a 4 dig: -1,941
  2. Numerador: á
  3. Denominador:
  4. Divisão:
Então com 4 dígitos,

Passo 4

Item ©: usa polinômio de Maclaurin grau 3 para seno e cosseno
  1. Substitui
  2. Numerador:
  3. Denominador:
  4. Divisão: xcos x - sen x = xl(1-tfracx^22r) - l(x-tfracx^36r) = -x^33
Então para x - sen x = x^36 , mesmo resultado: -tfracx^33tfracx^36 = -2 (quatro dígitos).

Passo 5

Item (d): erro relativo
Definição:
Er=l|aprox - realrealr|
Valor real dado: Er,b =l|-1,941 - (-1,99899998)-1,99899998r| =0,057999981,99899998 approx0,0290;(2,90%) .
  1. Para (b):
Er,c =l|-2,000 - (-1,99899998)-1,99899998r| =0,001000021,99899998 approx0,00050;(0,050%)
  1. Para ©:

Resposta

a) .
b) com 4 dígitos ≈ .
c) Com polinômio de grau 3 ≈ .
d) Erros relativos:
• (b): (2,90%)
• ©: (0,050%)

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