Prove: se a variável aleatória
é limitada, então tem momentos finitos de toda ordem.
Passo 1
O enunciado está em teoria de probabilidade e pede para mostrar que toda variável aleatória limitada possui momentos finitos de ordem arbitrária. Em outras palavras, lembrando que o
-ésimo momento de
é
precisamos provar que para todo
vale
sabendo apenas que existe uma constante
tal que
para quase todo
.
Passo 2
Por hipótese,
é limitada. Isso significa que existe um número real
com
Passo 3
Elevando essa desigualdade à potência
, como a função
é crescente para
, obtemos
Passo 4
Pela propriedade de monotonicidade da esperança (quando
quase certamente, então
se
quase certamente) temos
Como
é uma constante finita,
Resposta
Para todo
,
logo
tem momentos finitos de toda ordem.