Prove: se a variável aleatória X é limitada, então tem momentos finitos de toda ordem.

Passo 1

O enunciado está em teoria de probabilidade e pede para mostrar que toda variável aleatória limitada possui momentos finitos de ordem arbitrária. Em outras palavras, lembrando que o k-ésimo momento de X é
El(|X|^kr),
precisamos provar que para todo kinN vale
El(|X|^kr)<infty,
sabendo apenas que existe uma constante M tal que |X(omega)|<= M para quase todo omega.

Passo 2

Por hipótese, X é limitada. Isso significa que existe um número real M>=0 com
|X(omega)| <= M quase certamente

Passo 3

Elevando essa desigualdade à potência k>=1, como a função xmapsto x^k é crescente para x>=0, obtemos
|X(omega)|^k <= M^k quase certamente

Passo 4

Pela propriedade de monotonicidade da esperança (quando Y>=0 quase certamente, então E(Y)<= E(Z) se Y<= Z quase certamente) temos
El(|X|^kr) ;<=; El(M^kr)
Como M^k é uma constante finita,
El(M^kr) = M^k < infty

Resposta

Para todo kinN,
El(|X|^kr)<= M^k<infty,
logo X tem momentos finitos de toda ordem.

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