Suponha que a variável aleatória X tenha a seguinte densidade “triangular”:
f(x)=lll 1+x & se & -1 <= x <= 0 1-x & se & 0<x <= 1 0 & se & x<-1 ou x>1
Calcule E X e Var X.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X com densidade triangular em [-1,1] dada por
f(x)= 1+x, & -1<= x<=0, 1-x, & 0< x<=1, 0, & caso contrário á
Queremos calcular
E[X]=integral-infty^inftyx,f(x),dx, Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2
Para isso usaremos cálculo de integrais e a propriedade de simetria da densidade.

Passo 2

Observe que f(-x)=f(x), logo a densidade é simétrica em torno de zero. A função x,f(x) é ímpar, então
E[X] =integral-1^1x,f(x),dx =0

Passo 3

Para a variância precisamos de E[X^2]. A função x^2f(x) é par, então basta calcular
E[X^2] =integral-1^1x^2,f(x),dx =2integral0^1x^2,(1-x),dx

Passo 4

Calculamos a integral em [0,1]:
integral0^1x^2(1-x),dx =integral0^1(x^2 - x^3),dx =[x^33-x^44]0^1 =13-14 =112
Logo
E[X^2] =2cdot112 =16

Passo 5

Finalmente,
Var(X) =E[X^2]-l(E[X]r)^2 =16-0^2 =16

Resposta

E[X]=0
Var(X)=tfrac16

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