Demonstre:
Se é uma função característica e existe tal que para todo , então . (Qual a distribuição correspondente a ?)
Passo 1
O enunciado diz que é função característica de uma v.a. e que existe tal que
Queremos mostrar que então
e identificar qual é a distribuição de . Vamos usar duas propriedades clássicas de funções características:
.
Para qualquer ,
Passo 2
Se varphi(t)=1, então Re,varphi(t)=1, logo
El|e^itX-1r|^2 =2l(1-1r)=0
Isto implica que
e^itX=1 quase certamente,
ou seja,
tXin2piZ quase certamente
Passo 3
Pelo enunciado, a condição acima vale para todo t em (-de<a,de<a). Em particular, podemos escolher dois valores t1,t2in(0,de<a) tais que t1/t2notinQ. Então quase certamente
t1Xin2piZ e t2Xin2piZ
Escrevendo t1X=2pi k1 e t2X=2pi k2 com k1,k2inZ, temos
t1t2 =k1k2inQ,
contrariando a hipótese de que t1/t2 era irracional, a menos que X=0 quase certamente. Portanto X é degenerate e vale 0 com probabilidade 1.
Passo 4
Se X=0 quase certamente, então para qualquer t
varphi(t) =El[e^itXr] =El[e^icdot tcdot0r] =1
A distribuição de X é, pois, a medida de Dirac em zero.
Resposta
A função característica é varphi(t)=1 para todo t, e a distribuição correspondente é a degenerada em 0 (Dirac em 0).
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 6.6.4 - Ex. 9.b