Demonstre:
Se varphi é uma função característica e existe de<a>0 tal que varphi(t)=1 para todo t com|t|<de<a, então varphi(t)=1 forall t. (Qual a distribuição correspondente a varphi ?)

Passo 1

O enunciado diz que varphi é função característica de uma v.a. X e que existe de<a>0 tal que
varphi(t)=1 para todo t com |t|<de<a
Queremos mostrar que então
varphi(t)=1forall tinR,
e identificar qual é a distribuição de X. Vamos usar duas propriedades clássicas de funções características:
  1. varphi(0)=1.
  2. Para qualquer t,
El|e^itX-1r|^2 =2l(1-Re,varphi(t)r)

Passo 2

Se varphi(t)=1, então Re,varphi(t)=1, logo
El|e^itX-1r|^2 =2l(1-1r)=0
Isto implica que
e^itX=1 quase certamente,
ou seja,
tXin2piZ quase certamente

Passo 3

Pelo enunciado, a condição acima vale para todo t em (-de<a,de<a). Em particular, podemos escolher dois valores t1,t2in(0,de<a) tais que t1/t2notinQ. Então quase certamente
t1Xin2piZ e t2Xin2piZ
Escrevendo t1X=2pi k1 e t2X=2pi k2 com k1,k2inZ, temos
t1t2 =k1k2inQ,
contrariando a hipótese de que t1/t2 era irracional, a menos que X=0 quase certamente. Portanto X é degenerate e vale 0 com probabilidade 1.

Passo 4

Se X=0 quase certamente, então para qualquer t
varphi(t) =El[e^itXr] =El[e^icdot tcdot0r] =1
A distribuição de X é, pois, a medida de Dirac em zero.

Resposta

A função característica é varphi(t)=1 para todo t, e a distribuição correspondente é a degenerada em 0 (Dirac em 0).

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