Dizemos que tern distribuição simétrica em torno de zero se e possuem a mesma distribuição. Demonstre que tem distribuição simétrica em torno de zero se, e somente se, é real para todo .
Passo 1
O enunciado define que o vetor aleatório é simétrico em torno de zero se e têm a mesma distribuição. A função característica de é
Queremos mostrar a equivalência
Passo 2
(“Se é simétrico, então é real.”)
Pela simetria, e têm a mesma distribuição, logo suas funções características coincidem:
Mas sabemos também que
pois trocar t por -t numa exponencial complexa equivale a tomar o conjugado. Assim
varphiundersetsimX(t) =varphiundersetsimX(t),
o que implica que varphiundersetsimX(t) é real.
Passo 3
(“Se varphiundersetsimX(t) é real para todo t, então undersetsimX é simétrico.”)
Se varphiundersetsimX(t) é real, então
Como a função característica determina unicamente a lei de probabilidade, ter varphiundersetsimX(t)=varphi-undersetsimX(t) para todo t implica que undersetsimX e -undersetsimX têm a mesma distribuição. Isso é exatamente a simetria em torno de zero.
Resposta
Mostramos assim a bicondicional desejada:
undersetsimX é simétrico em torno de zero ;Long<=ftrightarrow; varphiundersetsimX(t) é real para todo tinR^k ééé
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 6.6.4 - Ex. 22