Dizemos que undersetsimX=(X1, ldots, Xk) tern distribuição simétrica em torno de zero se undersetsimX e -undersetsimX possuem a mesma distribuição. Demonstre que undersetsimX tem distribuição simétrica em torno de zero se, e somente se, varphiundersetsimX^X(t) é real para todo t in P^k.

Passo 1

O enunciado define que o vetor aleatório undersetsimX=(X1,dots,Xk) é simétrico em torno de zero se undersetsimX e -undersetsimX têm a mesma distribuição. A função característica de undersetsimX é
varphiundersetsimX(t)=El[e^,ilang<= t,undersetsimXrang<=r], tinR^k
Queremos mostrar a equivalência
undersetsimX simétrico;Long<=ftrightarrow;varphiundersetsimX(t) é real para todo t éé

Passo 2

(“Se undersetsimX é simétrico, então varphiundersetsimX(t) é real.”)
Pela simetria, undersetsimX e -undersetsimX têm a mesma distribuição, logo suas funções características coincidem:
varphiundersetsimX(t) =varphi-undersetsimX(t) =El[e^,ilang<= t,-undersetsimXrang<=r] =El[e^-,ilang<= t,undersetsimXrang<=r] =varphiundersetsimX(-t)
Mas sabemos também que
varphiundersetsimX(-t) =varphiundersetsimX(t),
pois trocar t por -t numa exponencial complexa equivale a tomar o conjugado. Assim
varphiundersetsimX(t) =varphiundersetsimX(t),
o que implica que varphiundersetsimX(t) é real.

Passo 3

(“Se varphiundersetsimX(t) é real para todo t, então undersetsimX é simétrico.”)
Se varphiundersetsimX(t) é real, então
varphiundersetsimX(t) =varphiundersetsimX(t) =varphiundersetsimX(-t)
Mas varphiundersetsimX(-t)=varphi-undersetsimX(t). Logo
varphiundersetsimX(t) =varphi-undersetsimX(t) forall,t

Passo 4

Como a função característica determina unicamente a lei de probabilidade, ter
varphiundersetsimX(t)=varphi-undersetsimX(t) para todo t implica que undersetsimX e -undersetsimX têm a mesma distribuição. Isso é exatamente a simetria em torno de zero.

Resposta

Mostramos assim a bicondicional desejada:
undersetsimX é simétrico em torno de zero ;Long<=ftrightarrow; varphiundersetsimX(t) é real para todo tinR^k ééé

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