(a) Mostre que se X tem distribuição Cauchy-padrão, então varphi2 x(t) =varphiX^2(t). (Pode usar, sem provar: 1pi integral-infty^infty cos (x t)1+x^2 d x=e^-11! ) Utilize esse resultado para provar que
varphiX+Y(t)=varphiX(t) varphiY(t), forall t in R nRightarrow X e Y independentes,
e portanto,
FX+Y(z)=FX * FY(z), forall z in R nRightarrow X e Y independentes.
(FX * FY è a convolução de FX^* com FY.)

Passo 1

O enunciado trata da distribuição Cauchy-padrão e de suas funções características. Sabemos que se X é Cauchy-padrão,
varphiX(t) =E[e^itX] =1piintegral-infty^inftycos(xt)1+x^2,dx =e^-lvert t rvert
Queremos provar que
varphi2X(t)=varphiX^2(t)
e em seguida usar isso para exibir um contra-exemplo em que
varphiX+Y(t)=varphiX(t),varphiY(t) não implica independência de X e Y.

Passo 2

Calcular varphi2X(t). Por definição,
varphi2X(t) =E[e^itcdot(2X)] =varphiX(2t)
Como sabemos que varphiX(u)=e^-|u|, basta substituir u=2t:
varphi2X(t) =e^-|2t| =e^-2|t|

Passo 3

Calcular varphiX^2(t). Usando varphiX(t)=e^-|t| uma segunda vez,
varphiX^2(t) =l(e^-|t|r)^2 =e^-2|t|

Passo 4

Concluir que varphi2X(t)=varphiX^2(t). Comparando os resultados dos passos 2 e 3 vemos que ambos dão e^-2|t|, logo
varphi2X(t)=varphiX^2(t)

Passo 5

Exibir o contra-exemplo para independência. Tome Y = X. Claramente X e Y não são independentes (são a mesma variável), mas
varphiX+Y(t) =varphi2X(t) =e^-2lvert t rvert =varphiX^2(t) =varphiX(t),varphiY(t)
Logo, mesmo com
varphiX+Y(t)=varphiX(t),varphiY(t) para todo t, X e Y não são independentes.

Passo 6

Análogo para funções de distribuição. Se FX é a cdf de X, a cdf de X+Y=2X é
,F2X(z)=FX+Y(z). Por outro lado, a convolução das marginais (supondo independência hipotética) dá
FX * FY(z) =FX * FX(z),
que é justamente a distribuição do somatório de duas cópias independentes de X. Mas sabemos que 2X tem a mesma distribuição que essa convolução, de modo que
FX+Y(z) =F2X(z) =FX * FX(z) =FX * FY(z),
mesmo sem independência.

Resposta

(a) Vimos que, para X Cauchy-padrão,
varphi2X(t)=e^-2lvert t rvert=varphiX^2(t)
Isto permite o contra-exemplo Y=X, pois então
varphiX+Y(t)=varphiX(t)varphiY(t) e
FX+Y=FX*FY
ocorrem sem que X e Y sejam independentes.

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