(a) Mostre que se
tem distribuição Cauchy-padrão, então
. (Pode usar, sem provar:
) Utilize esse resultado para provar que
e
independentes,
e portanto,
e
independentes.
è a convolução de
.)
e portanto,
Passo 1
O enunciado trata da distribuição Cauchy-padrão e de suas funções características. Sabemos que se
é Cauchy-padrão,
Queremos provar que
e em seguida usar isso para exibir um contra-exemplo em que
não implica independência de
e
.
Passo 2
Calcular
. Por definição,
Como sabemos que
, basta substituir
:
Passo 3
Calcular
. Usando
uma segunda vez,
Passo 4
Concluir que
. Comparando os resultados dos passos
e
vemos que ambos dão
, logo
Passo 5
Exibir o contra-exemplo para independência. Tome
. Claramente
e
não são independentes (são a mesma variável), mas
Logo, mesmo com
para todo
,
e
não são independentes.
Passo 6
Análogo para funções de distribuição. Se
é a cdf de
, a cdf de
é
. Por outro lado, a convolução das marginais (supondo independência hipotética) dá
que é justamente a distribuição do somatório de duas cópias independentes de
. Mas sabemos que
tem a mesma distribuição que essa convolução, de modo que
mesmo sem independência.
Resposta
(a) Vimos que, para
Cauchy-padrão,
Isto permite o contra-exemplo
, pois então
e
ocorrem sem que
e
sejam independentes.