Prove: se X assume apenas os valores a e b, Y assume apenas os valores c e d, e Cov(X, Y)=0, então X e Y são independentes.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que queremos mostrar. A variável aleatória X só assume dois valores, digamos a e b, e Y só assume dois valores, digamos c e d. Sabemos que
Cov(X,Y)=0,
e queremos provar que isso implica
P(X=x,Y=y)=P(X=x),P(Y=y)
para todo xina,b e yinc,d, ou seja, que X e Y são independentes. Vamos usar a definição de covariância e expressar as probabilidades conjuntas em termos de probabilidades condicionais.

Passo 2

Como X é binária, seja
p = P(X=a), 1-p = P(X=b)
De forma análoga, como Y é binária, seja
q = P(Y=c), 1-q = P(Y=d)
Definimos ainda as probabilidades condicionais
alpha = P(Y=cmid X=a), beta = P(Y=cmid X=b)
Então as probabilidades conjuntas são
P(X=a,Y=c)=p,alpha, P(X=a,Y=d)=p,(1-alpha),
P(X=b,Y=c)=(1-p),beta, P(X=b,Y=d)=(1-p),(1-beta)

Passo 3

Escrevemos agora as esperanças necessárias. Primeiro
E[X] = a,p + b,(1-p), E[Y] = c,q + d,(1-q)
Em seguida,
E[XY] = a c;P(X=a,Y=c) + a d;P(X=a,Y=d) + b c;P(X=b,Y=c) + b d;P(X=b,Y=d)
Substituindo as conjuntas do passo anterior, obtemos
E[XY] = a c,palpha + a d,p(1-alpha) + b c,(1-p)beta + b d,(1-p)(1-beta)

Passo 4

A covariância é
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y]
Se você simplificar cuidadosamente a expressão de E[XY] e subtrair
l(a,p + b,(1-p)r)l(c,q + d,(1-q)r),
chega-se ao fatorado
Cov(X,Y) = p(1-p),(a - b),(c - d),(alpha - beta)
Esse é um cálculo algébrico direto, mas que vale a pena verificar passo a passo.

Passo 5

Pelo enunciado temos Cov(X,Y)=0. Como pin(0,1) (não faz sentido p=0 ou p=1 se quisermos ter ambos valores a e b com probabilidade positiva) e aneq b, cneq d, segue que
alpha - beta = 0 Longrightarrow alpha = beta

Passo 6

Se alpha=beta, então
P(Y=cmid X=a)=P(Y=cmid X=b)
Isso implica que a probabilidade incondicional de Y=c é
q = P(Y=c) = P(X=a),alpha + P(X=b),beta = p,alpha + (1-p),alpha = alpha
Logo alpha = beta = q.

Passo 7

Agora basta ver que, com alpha=q, todas as probabilidades conjuntas fatoram: por exemplo
P(X=a,Y=c) = p,alpha = p,q = P(X=a),P(Y=c),
e análogamente para os outros três pares (x,y). Isso mostra a independência de X e Y.

Resposta

Como Cov(X,Y)=0 força alpha=beta e daí as probabilidades conjuntas se separam em produto das marginais, concluímos que X e Y são independentes.

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