Prove: se
assume apenas os valores
e
assume apenas os valores
e
, e
, então
e
são independentes.
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que queremos mostrar. A variável aleatória
só assume dois valores, digamos
e
, e
só assume dois valores, digamos
e
. Sabemos que
e queremos provar que isso implica
para todo
e
, ou seja, que
e
são independentes. Vamos usar a definição de covariância e expressar as probabilidades conjuntas em termos de probabilidades condicionais.
Passo 2
Como
é binária, seja
De forma análoga, como
é binária, seja
Definimos ainda as probabilidades condicionais
Então as probabilidades conjuntas são
Passo 3
Escrevemos agora as esperanças necessárias. Primeiro
Em seguida,
Substituindo as conjuntas do passo anterior, obtemos
Passo 4
A covariância é
Se você simplificar cuidadosamente a expressão de
e subtrair
,
chega-se ao fatorado
chega-se ao fatorado
Esse é um cálculo algébrico direto, mas que vale a pena verificar passo a passo.
Passo 5
Pelo enunciado temos
. Como
(não faz sentido
ou
se quisermos ter ambos valores
e
com probabilidade positiva) e
,
, segue que
Passo 6
Se
, então
Isso implica que a probabilidade incondicional de
é
Logo
.
Passo 7
Agora basta ver que, com
, todas as probabilidades conjuntas fatoram: por exemplo
e análogamente para os outros três pares
. Isso mostra a independência de
e
.
Resposta
Como
força
e daí as probabilidades conjuntas se separam em produto das marginais, concluímos que
e
são independentes.