Calcule sumk=0^n kbinomnk^2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
sumk=0^n k binomnk^2
O conteúdo envolve propriedades de coeficientes binomiais, em especial a identidade de Vandermonde
sumk=0^nbinomnk^2=binom2nn
e a simetria binomnk=binomnn-k. Vamos usar essas ideias para obter a soma desejada.

Passo 2

Lembrando a identidade de Vandermonde, temos
sumk=0^nbinomnk^2=binom2nn
Isso é útil porque relaciona uma soma simples de quadrados de binomiais a um único binomial.

Passo 3

Observe que, pela simetria binomnk=binomnn-k, também vale
sumk=0^n(n-k)binomnk^2 =sumk=0^nkbinomnk^2
Ou seja, a soma dos termos kbinomnk^2 é igual à soma dos termos (n-k)binomnk^2.

Passo 4

Somando as duas expressões obtemos
2sumk=0^nkbinomnk^2 =sumk=0^nl(k+(n-k)r)binomnk^2 =nsumk=0^nbinomnk^2 =nbinom2nn
Logo
sumk=0^nkbinomnk^2 =n2binom2nn

Passo 5

Para deixar a resposta em outra forma equivalente, usamos
binom2nn =2nnbinom2n-1n-1 =2binom2n-1n-1
Assim
n2binom2nn =n2cdot 2binom2n-1n-1 =nbinom2n-1n-1

Resposta

sumk=0^nkbinomnk^2 =nbinom2n-1n-1

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