Calcule a variância da variável aleatória X, sob as seguintes condições:
X sim Poisson ( lambda ), onde lambda>0.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda>0, ou seja,
P(X=k)=e^-lambdalambda^kk!, k=0,1,2,dots
Queremos calcular Var(X). Para isso, vamos usar a função geradora de momentos (MGF), que facilita obter momentos de uma variável discreta.

Passo 2

A MGF de X é definida por
MX(t)=El[e^tXr]
e, no caso de Poisson, sabe-se que
MX(t)=expl(lambda(e^t-1)r)
Derivando em relação a t e avaliando em t=0, obtemos a média:
MX'(t)=ddtexpl(lambda(e^t-1)r) =expl(lambda(e^t-1)r),lambda e^t,
portanto
E[X]=MX'(0)=expl(lambda(e^0-1)r),lambda e^0 =lambda

Passo 3

Para o segundo momento, derivamos mais uma vez:
MX''(t) =ddtl[exp(lambda(e^t-1)),lambda e^tr] =expl(lambda(e^t-1)r)l(lambda e^tr)^2 +expl(lambda(e^t-1)r),lambda e^t
Avaliando em t=0:
E[X^2]=MX''(0) =exp(0)l(lambdacdot1r)^2+exp(0),lambdacdot1 =lambda^2+lambda

Passo 4

A variância é definida por
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2
Substituindo os valores que achamos:
Var(X) =(lambda^2+lambda)-(lambda)^2 =lambda

Resposta

Var(X)=lambda.

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