Sejam X e Y variáveis aleatórias com variâncias finitas. Mostre que se Var X neq Var Y, então X+Y e X-Y não são independentes.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que iremos usar. O enunciado dá duas variáveis aleatórias X e Y com variâncias finitas, e pede para mostrar que, se Var,X neq Var,Y, então as variáveis U = X+Y e V = X - Y não podem ser independentes.
Conteúdo necessário:
  1. Definição de covariância e suas propriedades de linearidade.
  2. Fato de que, se duas variáveis são independentes e têm esperança finita, então sua covariância é zero.

Passo 2

Recordando a definição e propriedades de covariância: para quaisquer variáveis aleatórias A e B com esperança finita,
Cov(A,B)=E[AB]-E[A],E[B]
Além disso, vale a linearidade
Cov(aA + bB, C)=a,Cov(A,C)+b,Cov(B,C),
para quaisquer constantes a,b.

Passo 3

Usando essa propriedade, calculamos a covariância entre U=X+Y e V=X-Y:
Cov(X+Y,;X-Y) =Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)
Como Cov(Y,X)=Cov(X,Y), isso simplifica para
Cov(X+Y,;X-Y) =Cov(X,X)-Cov(Y,Y) =Var(X)-Var(Y)

Passo 4

Agora usamos o fato de que independência implica covariância nula. Se U e V fossem independentes, teríamos
Cov(U,V)=0
Mas acabamos de ver que
Cov(U,V)=Var(X)-Var(Y)
Logo, a independência exigiria Var(X)-Var(Y)=0.

Resposta

Portanto, se Var,X neq Var,Y, a covariância Cov(X+Y,;X-Y) é não nula e, assim, X+Y e X-Y não podem ser independentes.

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