Sejam
e
variáveis aleatórias com variâncias finitas. Mostre que se Var
Var
, então
e
não são independentes.
Passo 1
Vamos resumir o que temos e o que iremos usar. O enunciado dá duas variáveis aleatórias
e
com variâncias finitas, e pede para mostrar que, se
, então as variáveis
e
não podem ser independentes.
Conteúdo necessário:
Conteúdo necessário:
- Definição de covariância e suas propriedades de linearidade.
- Fato de que, se duas variáveis são independentes e têm esperança finita, então sua covariância é zero.
Passo 2
Recordando a definição e propriedades de covariância: para quaisquer variáveis aleatórias
e
com esperança finita,
Além disso, vale a linearidade
para quaisquer constantes
.
Passo 3
Usando essa propriedade, calculamos a covariância entre
e
:
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Agora usamos o fato de que independência implica covariância nula. Se
e
fossem independentes, teríamos
Mas acabamos de ver que
Logo, a independência exigiria
.
Resposta
Portanto, se
, a covariância
é não nula e, assim,
e
não podem ser independentes.