Demonstre: se X sim N(mu, sigma^2), então todos os momentos absolutos de X são finitos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X tem distribuição normal com média mu e variância sigma^2, então para todo inteiro n>=0 vale
El[lvert Xrvert^nr]<infty
O conteúdo principal é analisar a integral que define o momento absoluto
El[lvert Xrvert^nr] =integral-infty^inftylvert xrvert^n fX(x),dx
e usar comparações com funções bem conhecidas (polinômio versus decaimento exponencial).

Passo 2

Escrevemos a expectativa via a densidade de X:
El[lvert Xrvert^nr] =integral-infty^inftylvert xrvert^n 1raiz2pi,sigma exp!gl(-(x-mu)^22sigma^2gr),dx
Fazemos a mudança de variável
z=x-musigma, dx=sigma,dz, x=mu+sigma z,
para obter
El[lvert Xrvert^nr] =1raiz2pi integral-infty^infty llvertmu+sigma zrrvert^n e^-z^2/2,dz

Passo 3

Para lidar com lvertmu+sigma zrvert^n usamos a desigualdade de Minkowski em forma de polinômio:
llvertmu+sigma zrrvert^n <= 2^,n-1l(lvertmurvert^n+lvertsigma zrvert^nr) =2^,n-1l(lvertmurvert^n+lvertsigmarvert^nlvert zrvert^nr)
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El[lvert Xrvert^nr] <=2^,n-1raiz2pi integral-infty^inftyl(lvertmurvert^n+lvertsigmarvert^nlvert zrvert^nr)e^-z^2/2,dz
Essa integral se separa em termos constantes e em
El[lvert Zrvert^nr]
onde Zsim N(0,1).

Passo 4

Focamos em
El[lvert Zrvert^nr] =1raiz2pi integral-infty^inftylvert zrvert^n e^-z^2/2,dz =2raiz2pi integral0^inftyz^n e^-z^2/2,dz
Sabemos que para todo n essa integral converge, pois perto de 0 o integrando é O(z^n) e no infinito decai como e^-z^2/2, que vence qualquer potência. Em particular
integral0^inftyz^n e^-z^2/2,dz =2^n-12, Gamma!l(n+12r) <infty

Passo 5

Com isso temos
El[lvert Xrvert^nr] <= 2^,n-1l(lvertmurvert^n +lvertsigmarvert^n El[lvert Zrvert^nr]r) <infty,
o que vale para todo inteiro n>=0.

Resposta

Portanto, para Xsim N(mu,sigma^2) temos
El[lvert Xrvert^nr]<infty para todo n>=0,
isto é, todos os momentos absolutos de X são finitos.

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