Demonstre: se
, então todos os momentos absolutos de
são finitos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
tem distribuição normal com média
e variância
, então para todo inteiro
vale
O conteúdo principal é analisar a integral que define o momento absoluto
e usar comparações com funções bem conhecidas (polinômio versus decaimento exponencial).
Passo 2
Escrevemos a expectativa via a densidade de
:
Fazemos a mudança de variável
para obter
Passo 3
Para lidar com
lvertmu+sigma zrvert^n usamos a desigualdade de Minkowski em forma de polinômio:
Logo
Essa integral se separa em termos constantes e em
El[lvert Zrvert^nr]
ondeZsim N(0,1) .
onde
Passo 4
Focamos em
Sabemos que para todo
n essa integral converge, pois perto de
0 o integrando é
O(z^n) e no infinito decai como
e^-z^2/2 , que vence qualquer potência. Em particular
Passo 5
Com isso temos
o que vale para todo inteiro
n>=0 .
Resposta
Portanto, para
Xsim N(mu,sigma^2) temos
isto é, todos os momentos absolutos de
X são finitos.