Calcule a variância da variável aleatória X, sob as seguintes condições:
X sim N(mu, sigma^2), onde mu in R e sigma^2>0.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2, ou seja,
X sim Nl(mu,sigma^2r),
e pede para calcular Var(X). Vamos usar a definição de variância e propriedades da normal.

Passo 2

Recordamos que a variância de qualquer variável aleatória X é
Var(X) = El[(X - E[X])^2r]
Para Xsim N(mu,sigma^2), sabemos que E[X]=mu. Logo
Var(X) = El[(X - mu)^2r]

Passo 3

Escrevemos essa esperança como integral usando a densidade da normal:
Var(X) = integral-infty^infty (x - mu)^2 ;1raiz2pi,sigma exp!l(-(x - mu)^22sigma^2r) ,dx

Passo 4

Fazemos a mudança de variável
y = x - musigma, dx = sigma,dy,
então
(x - mu)^2 = sigma^2y^2 e 1raiz2pi,sigma exp!l(-(x - mu)^22sigma^2r) = 1raiz2pie^-y^2/2

Passo 5

Substituindo na integral,
Var(X) = integral-infty^infty sigma^2y^2 ;1raiz2pie^-y^2/2 ;sigma,dy = sigma^2integral-infty^infty y^21raiz2pie^-y^2/2,dy
Mas a integral
integral-infty^infty y^21raiz2pie^-y^2/2,dy
é justamente E[Z^2] para Zsim N(0,1), e sabemos que E[Z^2]=1.

Passo 6

Logo
Var(X) = sigma^2times 1 = sigma^2

Resposta

Var(X)=sigma^2.

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