Calcule a variância da variável aleatória
, sob as seguintes condições:
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
segue uma distribuição normal com média
e variância
, ou seja,
e pede para calcular
. Vamos usar a definição de variância e propriedades da normal.
Passo 2
Recordamos que a variância de qualquer variável aleatória
é
Para
, sabemos que
. Logo
Passo 3
Escrevemos essa esperança como integral usando a densidade da normal:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
então
Passo 5
Substituindo na integral,
Mas a integral
é justamente
para
, e sabemos que
.
Passo 6
Logo