Sejam X e Y variáveis aleatórias que só assumem os valores 0 e i. Mostre que se E X Y=E X cdot E Y, então X e Y são independentes.

Passo 1

No enunciado temos variáveis aleatórias X e Y que assumem somente os valores 0 e 1. Precisamos mostrar que a condição
E[XY] = E[X]cdot E[Y]
implica que X e Y são independentes, ou seja,
P(X=x,Y=y)=P(X=x),P(Y=y)
para todo x,yin0,1.

Passo 2

Observe que
E[X]=P(X=1), E[Y]=P(Y=1), E[XY]=P(X=1,Y=1)
Logo, a hipótese E[XY]=E[X],E[Y] equivale a
P(X=1,Y=1)=P(X=1),P(Y=1)

Passo 3

Para a célula (1,0) da tabela conjunta, usamos que
P(X=1,Y=0)=P(X=1)-P(X=1,Y=1)
Substituindo P(X=1,Y=1)=P(X=1),P(Y=1) vem
P(X=1,Y=0) = P(X=1)l[1-P(Y=1)r] = P(X=1),P(Y=0)

Passo 4

De modo análogo, para (0,1) escrevemos
P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1)
e obtemos
P(X=0,Y=1) = P(Y=1)l[1-P(X=1)r] = P(X=0),P(Y=1)

Passo 5

Por fim, completamos para (0,0) usando que a soma de todas as células é 1:
P(X=0,Y=0) =1-l[P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)r]
=1-l[P(X=1)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1)r]
=(1-P(X=1))(1-P(Y=1)) = P(X=0),P(Y=0)

Resposta

Como mostramos que
P(X=x,Y=y)=P(X=x),P(Y=y)
em todos os quatro casos (x,y)in0,1^2, concluímos que X e Y são independentes.

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