Sejam
e
variáveis aleatórias que só assumem os valores 0 e i. Mostre que se
, então
e
são independentes.
Passo 1
No enunciado temos variáveis aleatórias
e
que assumem somente os valores
e
. Precisamos mostrar que a condição
implica que
e
são independentes, ou seja,
para todo
.
Passo 2
Observe que
Logo, a hipótese
equivale a
Passo 3
Para a célula
da tabela conjunta, usamos que
Substituindo
vem
Passo 4
De modo análogo, para
escrevemos
e obtemos
Passo 5
Por fim, completamos para
usando que a soma de todas as células é
:
Resposta
Como mostramos que
em todos os quatro casos
, concluímos que
e
são independentes.