Calcule a variância da variável aleatória X, sob as seguintes condições:
X sim Gamma(alpha, beta), onde alpha>0 e beta>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos XsimGamma(alpha,beta) com alpha>0 (forma) e beta>0 (taxa) e queremos Var(X).
Conteúdo necessário: conhecemos a função geradora de momentos (mgf) de uma Gamma(alpha,beta) e usaremos as derivadas dela para obter E[X] e E[X^2].

Passo 2

A mgf de X é, para t<beta,
MX(t)=El[e^tXr] =l(betabeta-tr)^!alpha
Dessa forma podemos obter as derivadas que nos dão os momentos.

Passo 3

Calculando o primeiro momento:
MX'(t) =alphal(betabeta-tr)^!alpha 1beta-t Longrightarrow E[X]=MX'(0)=alphabeta

Passo 4

Calculando o segundo momento:
MX''(t) =alpha(alpha+1)l(betabeta-tr)^!alpha 1(beta-t)^2 Longrightarrow E[X^2]=MX''(0)=alpha(alpha+1)beta^2

Passo 5

A variância é
Var(X) =E[X^2]-l(E[X]r)^2 =alpha(alpha+1)beta^2-l(alphabetar)^2 =alphabeta^2

Resposta

Var(X)=alphabeta^2

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