Sejarn
e
variáveis aleatórias. Se
para todo
, dizemos que
é estocasticamente maior que
. Prove que se
é estocasticamente maior que
, então
(se
e
'existem).
Passo 1
O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias
e
com funções de distribuição
e
, e que
Isso significa que
é estocasticamente maior que
. Queremos provar que, sob essa condição e supondo que
e
existam (sejam finitos), vale
Para isso, vamos usar a representação de
e
em termos de “áreas de cauda” da distribuição.
Passo 2
Lembramos a fórmula de cauda para a expectativa de uma variável real qualquer que tenha esperança finita:
Mas
e
. Logo obtemos
De modo análogo,
Passo 3
Como
para todo
, então para
vale
logo
Além disso, para
temos
, então
Somando essas duas desigualdades obtemos
Resposta
Portanto, sob a condição de dominância estocástica
para todo
, segue que