Sejarn X e Y variáveis aleatórias. Se FX(x) <= FY(x) para todo x in R, dizemos que X é estocasticamente maior que Y. Prove que se X é estocasticamente maior que Y, então E X >= E Y (se E X e E 'existem).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com funções de distribuição FX(x)=P(X<= x) e FY(x)=P(Y<= x), e que
FX(x)<= FY(x)para todo xinR
Isso significa que X é estocasticamente maior que Y. Queremos provar que, sob essa condição e supondo que ,E X e ,E Y existam (sejam finitos), vale
E X ;>=;E Y
Para isso, vamos usar a representação de E X e E Y em termos de “áreas de cauda” da distribuição.

Passo 2

Lembramos a fórmula de cauda para a expectativa de uma variável real qualquer que tenha esperança finita:
E X ;=;integral0^inftyP(X> x),dx;-;integral0^inftyP(X< -x),dx
Mas P(X> x)=1-FX(x) e P(X< -x)=FX(-x). Logo obtemos
E X ;=;integral0^inftyl[1-FX(x)r],dx;-;integral0^inftyFX(-x),dx
De modo análogo,
E Y ;=;integral0^inftyl[1-FY(x)r],dx;-;integral0^inftyFY(-x),dx

Passo 3

Como FX(x)<= FY(x) para todo x, então para x>=0 vale
1-FX(x);>=;1-FY(x),
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integral0^inftyl[1-FX(x)r],dx ;>=; integral0^inftyl[1-FY(x)r],dx
Além disso, para x>=0 temos ,FX(-x)<= FY(-x), então
integral0^inftyFX(-x),dx ;<=; integral0^inftyFY(-x),dx Longrightarrow -!integral0^inftyFX(-x),dx ;>=; -!integral0^inftyFY(-x),dx
Somando essas duas desigualdades obtemos
E X = integral0^inftyl[1-FX(x)r],dx -integral0^inftyFX(-x),dx ;>=; integral0^inftyl[1-FY(x)r],dx -integral0^inftyFY(-x),dx = E Y

Resposta

Portanto, sob a condição de dominância estocástica FX(x)<= FY(x) para todo x, segue que
E X ;>=;E Y

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