Calcule a variância da variável aleatória
, sob as seguintes condições:
, onde
.
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição binomial de parâmetros
e
, ou seja
com
. Queremos calcular
. Para isso vamos usar a definição
portanto precisamos de
e de
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma variável binomial pode ser vista como soma de
variáveis de Bernoulli independentes
, cada uma com
e
. Logo
Como
, pela linearidade do valor esperado temos
Passo 3
Para encontrar
usamos a identidade
logo
Agora,
conta o número de pares ordenados de sucessos distintos. Por independência e identidade de segunda ordem para binomial, tem-se
Portanto
Passo 4
Finalmente, aplicamos a definição de variância:
Fazendo as contas: