Calcule a variância da variável aleatória X, sob as seguintes condições:
X sim b(n, p), onde 0<p<1.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição binomial de parâmetros n e p, ou seja
Xsim b(n,p),
com 0<p<1. Queremos calcular Var(X). Para isso vamos usar a definição
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2,
portanto precisamos de E[X] e de E[X^2].

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma variável binomial pode ser vista como soma de n variáveis de Bernoulli independentes B1,B2,dots,Bn, cada uma com P(Bi=1)=p e P(Bi=0)=1-p. Logo
X = sumi=1^nBi
Como E[Bi]=p, pela linearidade do valor esperado temos
E[X] = sumi=1^nE[Bi] = n,p

Passo 3

Para encontrar E[X^2] usamos a identidade
X^2 = X(X-1) + X,
logo
E[X^2] = El[X(X-1)r] + E[X]
Agora, X(X-1) conta o número de pares ordenados de sucessos distintos. Por independência e identidade de segunda ordem para binomial, tem-se
El[X(X-1)r] = n(n-1),p^2
Portanto
E[X^2] = n(n-1),p^2 + n,p

Passo 4

Finalmente, aplicamos a definição de variância:
Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 = l(n(n-1),p^2 + n,pr) - (n,p)^2
Fazendo as contas:
n(n-1),p^2 + n,p - n^2p^2 = n,p - n,p^2 = n,p,(1-p)

Resposta

Var(X)=n,p,(1-p)

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