Demonstre que a covariância é bilinear:
Cov(sumi=1^m ai Xi, sumj=1^n bj Yj)=sumj=1^n sumi=1^m ai bj Cov(Xi, Xj),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a covariância é bilinear, ou seja, que para constantes ai, bj e variáveis aleatórias Xi, Yj vale
Covl(sumi=1^maiXi,;sumj=1^nbjYjr) =sumi=1^msumj=1^nai,bj,Cov(Xi,Yj)
Para isso vamos usar a definição de covariância e as propriedades de linearidade da esperança.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer variáveis aleatórias U e V,
Cov(U,V) =E[,U,V,]-E[U],E[V]
Também sabemos que, se c é constante, então
Cov(c,U,V)=c,Cov(U,V), Cov(U,c,V)=c,Cov(U,V),
por causa da linearidade da esperança.

Passo 3

Usamos ainda a propriedade de aditividade em cada argumento:
Cov(U1+U2,V) =Cov(U1,V)+Cov(U2,V),
e
Cov(U,V1+V2) =Cov(U,V1)+Cov(U,V2)

Passo 4

Agora aplicamos essas propriedades à covariância que queremos:
Covl(sumi=1^maiXi,;sumj=1^nbjYjr)
Primeiro expandimos em relação ao primeiro argumento:
Covl(sumi=1^maiXi,;sumj=1^nbjYjr) =sumi=1^mCovl(aiXi,;sumj=1^nbjYjr)
Em seguida expandimos em relação ao segundo argumento dentro de cada soma:
Covl(aiXi,;sumj=1^nbjYjr) =sumj=1^nCovl(aiXi,;bjYjr)

Passo 5

Finalmente extraímos as constantes ai e bj de cada covariância:
Covl(aiXi,;bjYjr) =ai,bj,Cov(Xi,Yj)
Juntando tudo:
Covl(sumi=1^maiXi,;sumj=1^nbjYjr) =sumi=1^msumj=1^nai,bj,Cov(Xi,Yj)

Resposta

Covl(sumi=1^maiXi,;sumj=1^nbjYjr) =sumi=1^msumj=1^nai,bj,Cov(Xi,Yj)

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