Demonstre que a covariância é bilinear:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a covariância é bilinear, ou seja, que para constantes
,
e variáveis aleatórias
,
vale
Para isso vamos usar a definição de covariância e as propriedades de linearidade da esperança.
Passo 2
Lembramos que, para quaisquer variáveis aleatórias
e
,
Também sabemos que, se
é constante, então
por causa da linearidade da esperança.
Passo 3
Usamos ainda a propriedade de aditividade em cada argumento:
e
Passo 4
Agora aplicamos essas propriedades à covariância que queremos:
Primeiro expandimos em relação ao primeiro argumento:
Em seguida expandimos em relação ao segundo argumento dentro de cada soma:
Passo 5
Finalmente extraímos as constantes
e
de cada covariância:
Juntando tudo: